《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

(1)如图1,在四边形ABCD中,BC＞AB,AD= CD,BD平分∠ABC,求∠A+∠C的度数；180°
拓展：(2)如图2,在平面直角坐标系中,A(3,0),B点在y轴上,D点在x轴上,BD平分∠CDA,∠A+∠C= 180°,求OD-CD的值。3

答案： 解：
(1)作 $ DE \perp AB $ 交 $ BA $ 的延长线于 $ E $，$ DF \perp BC $ 于 $ F $，证 $ \triangle ADE \cong \triangle CDF $，$ \therefore \angle BAD + \angle C = 180^\circ $；
(2)作 $ BM \perp DC $ 交直线 $ CD $ 于 $ M $ 点，则 $ BM = BO $，$ \therefore \triangle BCM \cong \triangle BAO(AAS) $，$ CM = AO = 3 $。又 $ \because \triangle BDM \cong \triangle BDO(AAS) $，$ \therefore DO = DM $，$ \therefore OD - CD = CM = OA = 3 $。

(1)若DB= DC,求证：AC-AB= 2AM。
作 DN⊥AB 于点 N，证△CDM≌△BDN，△ADM≌△ADN，∴CM=BN，AM=AN，∴AC-AB= 2AM
(2)利用上面的方法解决问题：如图2,∠BAC= ∠BDC= 20°,∠DAC= 80°,求证：DB= DC。
作 DN⊥AB 于 N，易证△DAM≌△DAN，再证△DMC≌△DNB

答案： 解：
(1)作 $ DN \perp AB $ 于点 $ N $，证 $ \triangle CDM \cong \triangle BDN $，$ \triangle ADM \cong \triangle ADN $，$ \therefore CM = BN $，$ AM = AN $，$ \therefore AC - AB = 2AM $；
(2)作 $ DN \perp AB $ 于 $ N $，易证 $ \triangle DAM \cong \triangle DAN $，再证 $ \triangle DMC \cong \triangle DNB $。

拓展.如图,已知BD为△ABC的外角∠ABE的平分线,且AD= CD.作DH⊥CE于H,若AB= 6,BC= 4,则BH的长为1。

答案： 解：$ \text{Rt} \triangle BDM \cong \text{Rt} \triangle BDH(HL) $，$ \text{Rt} \triangle AMD \cong \text{Rt} \triangle CHD(HL) $，$ BH = \frac{1}{2}(AB - BC) = 1 $。