《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$.
(1)画出$BC$,$AC边上高AE$,$BD$;
(2)若$AC= 2BC$,求$\frac {BD}{AE}$的值.

答案：
解:
(1)如图所示;
　　　　　　　　　　　　
(2)S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AE=$\frac{1}{2}$AC·BD,AE=2BD,
∴$\frac{BD}{AE}$=$\frac{1}{2}$.

变式.如图,已知$\triangle ABC$.
(1)画出$\triangle ABC的高AM$,$CN$;
(2)若$CN= 3$,$AM= 6$,$AB= 10$,求$BC$的长.

答案：
解:
(1)如图所示;
　　　　　　　　　　
(2)S△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AM=$\frac{1}{2}$AB×CN,
　
　
∴BC=5.

【典例2】已知$AD是\triangle ABC$的高,$∠BAD= 70^{\circ }$,$∠CAD= 20^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.

答案：
解:当高AD在△ABC的内部时(如图1),∠BAC = 90°.
　　　　　当高AD在△ABC的外部时(如图2),∠BAC = 50°.
　　　　　综上可知∠BAC的度数为90°或50°.
　　

【典例3】如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$AC边上的高BD= 4$,$P为BC$上一点,$PE⊥AC于E$,$PF⊥AB于F$,求$PE+PF$的值.

答案：
解:连接AP,
　
　
∵S△ABC = S△ABP + S△PAC,
　
　
∴$\frac{1}{2}$AB·PF + $\frac{1}{2}$AC·PE = $\frac{1}{2}$AC·BD,
　
　
∵AB = AC,BD = 4,
　
　
∴PE + PF = 4.
　　　　　　　　

变式1.如图,在$\triangle ABC$中,$CA= CB= 4$,$S_{\triangle ABC}= 6$,点$D在AB$上,$DE⊥AC$,$DF⊥BC$,垂足为$E$,$F$,则$DE+DF= $3.

答案： 3

变式2.如图,长方形$ABCD$面积为6,点$E在DC$的延长线上,连接$BE$,$P为BE$中点,则$S_{\triangle ABP}$的面积为(C)

A.6
B.3
C.1.5
D.2

答案： C

变式3.如下三图,作$C点使\triangle ABC$面积为3(只作一个即可).

答案：
如图所示.