《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例1】如图,$AC⊥BC$,$AC= BC$,$BE⊥BC$,$AD⊥CE$交BC于D,求证：$BE= CD$。

证明:证明$∠BCE=∠A$，再证$△ACD\cong △CBE(ASA)$，$\therefore BE=CD.$

答案： 证明:证明$∠BCE=∠A,$
再证$△ACD\cong △CBE(ASA),$
$\therefore BE=CD.$

【典例2】如图,在$△ABC$中,$AB= AC$,$AB⊥AC$,过A作直线l,$BD⊥l$于D,$CE⊥l$于E,求证：$DE= BD+CE$。

证明:证$△ABD\cong △CAE,BD=AE,AD=CE.$

答案： 证明:证$△ABD\cong △CAE,BD=AE,AD=CE.$

变式1.如图,$AC⊥BC$,$AC= BC$,$AM⊥CM$,$S_{△BCM}= 8$,求CM的长。

解:过B点作$BN⊥CM$于N点,证$△BCN\cong △CAM$(AAS),
$\therefore BN=CM,$
设$CM=x,\frac {1}{2}x^{2}=8,$
$\therefore x=4,\therefore CM=$4.

答案： 解:过B点作$BN⊥CM$于N点,证$△BCN\cong △CAM$(AAS),
$\therefore BN=CM,$
设$CM=x,\frac {1}{2}x^{2}=8,$
$\therefore x=4,\therefore CM=4.$

变式2.如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ}$,$AC= BC$,$BE⊥CE$于E,$AD⊥CE$于D,$AD= 7$,$BE= 3$。求$△BDE$的面积。

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答案： 1. 首先证明$\triangle ACD\cong\triangle CBE$：
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle ACD+\angle BCE=90^{\circ}$。
又因为$AD\perp CE$，$BE\perp CE$，所以$\angle ADC=\angle CEB = 90^{\circ}$，$\angle CAD+\angle ACD = 90^{\circ}$。
则$\angle CAD=\angle BCE$（同角的余角相等）。
在$\triangle ACD$和$\triangle CBE$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle ADC=\angle CEB\\\angle CAD=\angle BCE\\AC = BC\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ACD\cong\triangle CBE$。
2. 然后求$CD$和$CE$的值：
由$\triangle ACD\cong\triangle CBE$，根据全等三角形的对应边相等，可得$CD = BE$，$AD = CE$。
已知$AD = 7$，$BE = 3$，所以$CD = 3$，$CE = 7$。
3. 接着求$DE$的值：
根据$DE=CE - CD$，可得$DE=7 - 3=4$。
4. 最后求$S_{\triangle BDE}$：
因为$BE\perp CE$，所以$\triangle BDE$是直角三角形，根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为$DE$，高为$BE$。
则$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}× DE× BE$。
把$DE = 4$，$BE = 3$代入公式，得$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}×4×3 = 6$。
所以$\triangle BDE$的面积是$6$。

变式3.如图,$AC= BC$,$AC⊥BC$,$CE= CF$,$CE⊥CF$,延长EC交BF于M点,求证：$BM= FM$。
证明:过B点作$BH⊥CM$交直线CM于H点,证$△ACE\cong △CBH$,
$\therefore BH=CE=CF,$
可证$△BHM\cong △FCM$,
$\therefore BM=FM.$

答案： 证明:过B点作$BH⊥CM$交直线CM于H点,证$△ACE\cong △CBH,$
$\therefore BH=CE=CF,$
可证$△BHM\cong △FCM,$
$\therefore BM=FM.$

变式4.如图,$CA= CB$,$CA⊥CB$,$CE= EF$,$CE⊥EF$,连接BF交CE于M点,求证：$BM= FM$。
证明:过B点作$BH⊥CE$于H点,$△BHC\cong △CEA$(AAS),
$\therefore BH=CE=EF,$
再证$△BHM\cong △FEM$,
$\therefore BM=FM.$

答案： 证明:过B点作$BH⊥CE$于H点,$△BHC\cong △CEA$(AAS),
$\therefore BH=CE=EF,$
再证$△BHM\cong △FEM,$
$\therefore BM=FM.$