《2025年思维新观察八年级数学上册人教版湖北专版》

【典例 1】在△ABC 内找一点 P,使 P 到 A,C 两点的距离相等,并且 P 到 AC 的距离等于 P 到 BC 的距离,下列尺规作图正确的是(D)

答案： D

变式 1.如图,已知△ABC,AB＜BC,用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P,使得 PA + PC = BC,则下列选项正确的是(B)

答案： B

变式 2.尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线.已知：如图 1,直线 l 及其外一点 A.求作：l 的垂线,使它经过点 A.
小云的作法如下：
①在直线 l 上任取一点 B,连接 AB；
②以点 A 为圆心,线段 AB 的长度为半径作弧,交直线 l 于点 D；
③分别以 B,D 为圆心,线段 AB 的长度为半径作弧,两弧相交于点 C；
④作直线 AC,直线 AC 即为所示(如图 2).
请证明：AC⊥直线 l.
证明：$\triangle ABC\cong \triangle ADC(SSS)$，$\therefore ∠BAC=∠CAD$，
设 AC 交 BD 于点 O，$\therefore \triangle ABO\cong \triangle ADO$，$\therefore ∠AOB=∠AOD=90^{\circ }$，
$\therefore AO⊥OC$。

答案： 证明：$\triangle ABC\cong \triangle ADC(SSS)$，$\therefore ∠BAC=∠CAD$，
设 AC 交 BD 于点 O，$\therefore \triangle ABO\cong \triangle ADO$，$\therefore ∠AOB=∠AOD=90^{\circ }$，
$\therefore AO⊥OC$。

【典例 2】已知△ABC,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法),并根据要求填空：
(1)作∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；
(2)作线段 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E,交 BC 于点 F.
由(1),(2)可得：线段 EF 与线段 BD 的关系为( )

A.相等
B.垂直
C.垂直且相等
D.互相垂直平分

答案：

(1)如图所示；
(2)D

变式.如图,在矩形 ABCD 中,AB = 1,AD = 3,①以点 A 为圆心,以不大于 AB 长为半径作弧,分别交边 AD,AB 于点 E,F,再分别以点 E,F 为圆心,以大于$\frac{1}{2}EF $长为半径作弧,两弧交于点 P,作射线 AP 分别交 BD,BC 于点 O,Q；②分别以点 C,Q 为圆心,以大于$\frac{1}{2}CQ $长为半径作弧,两弧交于点 M,N,作直线 MN 交 QC 于点 G,则 QG 的长为1.

答案： 1