《2025年家庭作业七年级数学上册北师大版》

9. 阅读下列材料。
计算：$\frac{1}{24}÷ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)$。
解法一：原式$=\frac{1}{24}÷ \frac{1}{3}-\frac{1}{24}÷ \frac{1}{4}+\frac{1}{24}÷ \frac{1}{12}=\frac{1}{24}× 3-\frac{1}{24}× 4+\frac{1}{24}× 12=\frac{11}{24}$。
解法二：原式$=\frac{1}{24}÷ \left(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{24}÷ \frac{2}{12}=\frac{1}{24}× 6=\frac{1}{4}$。
解法三：原式的倒数$=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)÷ \frac{1}{24}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)× 24=\frac{1}{3}× 24-\frac{1}{4}× 24+\frac{1}{12}× 24=4$，
所以，原式$=\frac{1}{4}$。
(1) 上述得到的结果不同，你认为解法一是错误的；
(2) 请你选择合适的解法计算：$\left(-\frac{1}{42}\right)÷ \left(\frac{1}{6}-\frac{3}{14}+\frac{2}{3}-\frac{2}{7}\right)$。

答案： 9.解
(1)上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的，故答案为：一。
(2)原式的倒数$=(\frac{1}{6}−\frac{3}{14}+\frac{2}{3}−\frac{2}{7})÷(−\frac{1}{42})=$
$(\frac{1}{6}−\frac{3}{14}+\frac{2}{3}−\frac{2}{7})×(−42)=−7+9−28+12=−35+21=−14，$所以，原式$=−\frac{1}{14}。$

知识点 有理数的乘方
1. 求$n$个相同因数$a$的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂，$a$叫作底数，$n$叫作指数，$a^{n}$读作“$a$的$n$次幂”(或“$a$的$n$次方”)。
2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，$0$的任何正整数次幂都是$0$。

答案： 1.相同 底数 指数

【例1】把下列各式写成乘方的形式，并且指出底数、指数各是什么。
(1)$(-8)× (-8)× (-8)$；
(2)$\frac{3}{5}× \frac{3}{5}× \frac{3}{5}× \frac{3}{5}× \frac{3}{5}$；
(3)$-\frac{4}{7}× \frac{4}{7}× \frac{4}{7}× \frac{4}{7}$；
(4)$\underbrace{(-1)× (-1)× (-1)× \cdots × (-1)}_{2025个(-1)}$。
[听课笔记]
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名师点拨 当底数是负数和分数时，要用括号把底数括起来，指数写在括号的外边，例如$(\frac{3}{5})^{5}$不能写成$\frac{3^{5}}{5}$，另外如果因数不同，出现了相反数的情形，要先确定符号，再利用乘方的意义写成乘方的形式。

答案： 1.解
(1)$( - 8) × ( - 8) × ( - 8) = ( - 8)^{3}$，底数是$-8$，指数是$3$；
(2)$\frac{3}{5} × \frac{3}{5} × \frac{3}{5} × \frac{3}{5} × \frac{3}{5} = \left( \frac{3}{5} \right)^{5}$，底数是$\frac{3}{5}$，指数是$5$；
(3)$-\frac{4}{7} × \frac{4}{7} × \frac{4}{7} × \frac{4}{7} = - \left( \frac{4}{7} \right)^{4}$，底数是$\frac{4}{7}$，指数是$4$；
(4)$( - 1) × ( - 1) × ( - 1) × \cdots × ( - 1) = ( - 1)^{2025}$，
$2025$个$( - 1)$
底数是$-1$，指数是$2025$。