《2025年家庭作业七年级数学上册北师大版》

9.【材料阅读】
在一般情况下，对于$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4}$是不一定成立的。但是，当$m,n$取某些特殊值时，有可能成立。比如：当$m = n = 0$时，等式成立。我们把能使得$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{m + n}{2 + 4}$成立的一对数$m,n$称之为“有缘数对”，记为$(m,n)$。
【问题解决】
(1)通过计算说明数对$(-4,2)$是不是“有缘数对”；
(2)若数对$(x,-4)$是“有缘数对”，求$x$的值。

答案： 9.解
(1)因为$\frac{m}{2} + \frac{n}{4} = \frac{-4}{2} + \frac{2}{4} = -\frac{3}{2}$，$\frac{m + n}{2 + 4} = \frac{-4 + 2}{2 + 4} = -\frac{1}{3}$，所以数对$(-4,2)$不是“有缘数对”。
(2)由题意，得$\frac{x}{2} + \frac{-4}{4} = \frac{x - 4}{2 + 4}$，解方程，得$x = 1$。

知识点 几何图形问题
1.长度一定，围成不同形状的图形，应抓住周长不变。
2.有关两种物体混合的应用题，混合前后的质量不变。
3.有关物体锻造一类的应用题，锻造前后的体积不变。

答案： 1.周长 2.质量 3.体积

【例1】在一个底面直径为$5 cm$、高为$18 cm$的圆柱形玻璃瓶内装满水，再将瓶内的水完全倒入一个底面直径为$6 cm$、高为$13 cm$的圆柱形杯子中(忽略玻璃瓶和杯子的厚度)。
(1)能否把圆柱形杯子装满？为什么？
(2)若装不下，则瓶内水面还有多高？若不能装满，求杯内水面离杯口的距离。
[听课笔记]
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名师点拨 几何体形状发生变化，但变化前后的体积不变，可以根据体积不变列方程。

答案： 解
(1)瓶子的体积$:\pi × (\frac{5}{2})^2 × 18=\frac{225}{2}\pi(cm^3)；$
杯子的体积$:\pi × (\frac{6}{2})^2 × 13=117\pi(cm^3)。$
因为$\frac{225}{2}\pi＜117\pi，$所以不能装满杯子。
(2)由
(1)知不能装满，设此时杯子内水的高度为
x cm，则根据题意，得$\pi × (\frac{5}{2})^2 × 18=\pi × (\frac{6}{2})^2 \cdot x。$
解这个方程，得x=12.5。
所以13-12.5=0.5(cm)。
因此，把瓶内的水倒入杯中不能装满杯子，此时杯内
水面离杯口的距离为0.5cm。