《2025年家庭作业七年级数学上册北师大版》

知识点1 多边形的有关概念
1. 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形。
2. 连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线。
3. 各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形。

答案： 1. 直线 2. 顶点 3. 各角

知识点2 圆的有关概念
|定义|平面上，一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径||
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|弧|圆上任意两点A，B间的部分叫作圆弧，简称弧，记作$\overset{\frown}{AB}$，读作“圆弧AB”或“弧AB”|
|扇形|由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫作扇形|
|圆心角|顶点在圆心的角叫作圆心角|

答案： 1. 圆心 2. 圆弧 3. 弧 4. 顶点

【例1】已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点出发的对角线条数的2倍，则这个多边形的边数是6。
[听课笔记]
名师点拨 (1)如果多边形有$n(n＞3)$条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有$(n - 3)$条。
(2)一个$n(n＞3)$边形有$n$条边，$n$个内角，$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线。

答案： 1. 6 解析 设此多边形有n条边，由题意得n=2(n - 3)，解得n=6。

【对点训练1】从八边形的一个顶点出发可以引5条对角线，八边形的对角线有20条。

答案： 1. 5 20 解析 从八边形一个顶点出发可以画8 - 3=5条对角线，八边形共有$\frac{1}{2}$×8×5=20条对角线。

【例2】如图，在三角形ABC中，$\angle C = 90^{\circ}$，$CA = CB = 4$，分别以A，B，C为圆心，以$\frac{1}{2}AC$为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是多少？
[听课笔记]解 因为∠C=90°，CA=CB=4，所以三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC·CB=$\frac{1}{2}$×4×4=8。因为三条弧所对圆心角的和为180°，所以三个扇形的面积和为$\frac{1}{2}$π×2²=2π。所以S_{阴影部分}=8 - 2π。
名师点拨 扇形的面积是圆的面积的一部分，扇形所对圆心角占$360^{\circ}$的几分之几，扇形的面积就等于圆面积的几分之几。求阴影部分的面积问题关键是把阴影部分转化为易求出面积的图形。

答案： 1. 解 因为∠C=90°，CA=CB=4，所以三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$AC·CB=$\frac{1}{2}$×4×4=8。因为三条弧所对圆心角的和为180°，所以三个扇形的面积和为$\frac{1}{2}$π×2²=2π。所以S_{阴影部分}=8 - 2π。