《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

- 7. 如图(1),将一张长方形铁皮的四个角都剪去边长为 $3 cm$ 的正方形,然后沿四周折起,做成一个无盖铁盒,如图(2),铁盒底面长方形的长为 $8x cm$,宽为 $5x cm$。
请用含 $x$ 的代数式表示图(1)中原长方形铁皮的面积。
现要在铁盒的各个外表面都涂上某种油漆,若每平方厘米需花费 $x$ 元,则给这个铁盒涂漆需要多少元(用含 $x$ 的代数式表示)？

答案： 【解】（1）原长方形铁皮的面积是（$8x+3+3$）（$5x+3+3$）$=(8x+6)(5x+6)=(40x^{2}+78x+36)$（$cm^{2}$）.
（2）这个铁盒的外表面积是$40x^{2}+78x+36-4×3^{2}=(40x^{2}+78x)$（$cm^{2}$），
则给这个铁盒涂漆需要（$40x^{2}+78x$）$\cdot x=(40x^{3}+78x^{2})$（元）.

- 8. (新定义)对于多项式 $x + 1$,$x + 3$,$2x + 2$,$2x + 6$,用任意两个多项式的积,再与剩余两个多项式的积作差,并算出结果,称之为“积差操作”。例如：$(x + 1)(x + 3)-(2x + 2)(2x + 6)= -3x^{2}-12x - 9$。
请判断下列说法是否正确：
不存在任何“积差操作”,使其结果为 $0$；
至少存在一种“积差操作”,使其结果为 $8x + 16$；
所有的“积差操作”共有 $5$ 种不同的结果。

答案： 【解】$(x+1)(2x+6)-(x+3)(2x+2)=0$，故（1）错误；
所有的“积差操作”为
$(x+1)(x+3)-(2x+2)(2x+6)=-3x^{2}-12x-9$，
$(x+1)(2x+2)-(x+3)(2x+6)=-8x-16$，
$(x+1)(2x+6)-(x+3)(2x+2)=0$，
$(x+3)(2x+2)-(x+1)(2x+6)=0$，
$(x+3)(2x+6)-(x+1)(2x+2)=8x+16$，
$(2x+2)(2x+6)-(x+1)(x+3)=3x^{2}+12x+9$，
所以共有5种不同的结果，故（2）正确，
（3）正确.