《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

7. 现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张,卡片的边长如图(1)所示$(1 ＜ m ＜ 2)$. 某同学分别用这些卡片拼出了两个长方形(不重叠无缝隙),如图(2)和图(3),其面积分别记为$S_1$,$S_2$.
(第 7 题)
(1)请用含$m的代数式分别表示S_1$,$S_2$；
(2)比较$S_1与S_2$的大小,并说明理由.

答案： 【解】（1）由题意，得$S_{1}=m^{2}+2×1×m+1×1=m^{2}+2m+1$，
$S_{2}=4×1×m+1×1=4m+1$．
（2）$S_{1}\lt S_{2}$，理由如下．
$S_{1}-S_{2}=m^{2}+2m+1-(4m+1)$
$=m^{2}+2m+1-4m-1$
$=m^{2}-2m=m(m-2)$．
因为$1\lt m\lt 2$，所以$m\gt 0$，$m-2\lt 0$．
所以$m(m-2)\lt 0$．所以$S_{1}-S_{2}\lt 0$．
所以$S_{1}\lt S_{2}$．

8. 已知$a - b = 8$,$ab = 6$.
(1)求$a^2 + b^2$的值；
(2)求$a^4b^2 - a^3b^3 + a^2b^4$的值.

答案： 【解】（1）因为$a-b=8$，
所以$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}=64$．
又因为$ab=6$，所以$a^{2}-2×6+b^{2}=64$．
所以$a^{2}+b^{2}=76$．
（2）因为$a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}=a^{2}b^{2}(a^{2}-ab+b^{2})$，$ab=6$，由（1），得$a^{2}+b^{2}=76$．
所以$a^{2}b^{2}(a^{2}-ab+b^{2})=6^{2}×(76-6)=2520$，所以$a^{4}b^{2}-a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}=2520$．

9. (跨学科融合)“回文诗”是指能够回还往复,正读倒读皆成章句的诗篇,是我国古典诗歌中一种有趣的特殊体裁. 如“遥望四边云接水,碧峰千点数鸿轻”,倒过来读,便是“轻鸿数点千峰碧,水接云边四望遥”. 在数学中也有这样一类正读倒读都一样的自然数,我们称之为“回文数”,例如 11,343.
(1)在所有三位数中,“回文数”共有90个；
(2)任意一个四位数的“回文数”一定是11的倍数(1 除外).

答案： （1）90 （2）11