《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

11. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 82°,AD⊥BC,垂足为 D,AE 平分∠BAC,∠B= 54°,求∠DAE 的度数.

答案： 【解】因为AD⊥BC，
所以∠BDA=90°.
所以∠BAD=90°-∠B=90°-54°=36°.
因为∠BAC=82°，AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠CAE=41°，
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=41°-36°=5°.

12. 如图,在△ABC 中,∠B＜∠C,AD 平分∠BAC,F 是线段 AD(除去端点 A,D)上一动点,EF⊥BC,垂足为 E.
(1)若∠B= 40°,∠DFE= 10°,求∠C 的度数；
(2)若∠B= α,∠C= β,请用含 α,β 的代数式表示∠DFE 的度数.

答案： 【解】（1）因为EF⊥BC，∠DFE=10°，
所以∠FED=90°，∠EDF=80°.
所以∠BAD=∠EDF-∠B=80°-40°=40°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAC=80°.
所以∠C=180°-∠B-∠BAC=60°.
（2）因为∠B=α，∠C=β，
所以∠BAC=180°-α-β.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β.
所以∠EDF=∠BAD+∠B=90°+$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β.
因为EF⊥BC，所以∠FED=90°.
所以∠DFE=90°-∠EDF=$\frac{1}{2}$β-$\frac{1}{2}$α.

13. 如图,BD,CD 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,BO,CO 分别是△ABC 的外角∠CBE,∠BCF 的平分线.

(1)当∠ABC= 62°,∠ACB= 68°时,求∠D,∠O 的度数.
(2)当∠A= 48°时,求∠D,∠O 的度数.
(3)请你猜想,当∠A 的大小变化时,∠D+∠O 的值是否变化？请说明理由.

答案： 【解】（1）因为∠ABC=62°，∠ACB=68°，
所以∠CBE=180°-∠ABC=118°，∠BCF=180°-∠ACB=112°.
因为BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BO，CO分别是△ABC的外角∠CBE，∠BCF的平分线，
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=31°，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=34°，∠OBC=$\frac{1}{2}$∠CBE=59°，∠BCO=$\frac{1}{2}$∠BCF=56°.
所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-31°-34°=115°.
∠O=180°-∠OBC-∠BCO=180°-59°-56°=65°.
（2）因为∠A=48°，
所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=132°，
∠CBE+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB）=228°.
因为BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BO，CO分别是△ABC的外角∠CBE，∠BCF的平分线，
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠OBC=$\frac{1}{2}$∠CBE，∠BCO=$\frac{1}{2}$∠BCF.
所以∠DBC+∠DCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=66°，∠OBC+∠BCO=$\frac{1}{2}$（∠CBE+∠BCF）=114°.
所以∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-66°=114°.
∠O=180°-（∠OBC+∠BCO）=180°-114°=66°.
（3）当∠A的大小变化时，∠D+∠O的值不变.理由如下.
由（2）知∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A.
∠O=180°-（∠OBC+∠BCO）=180°-$\frac{1}{2}$（∠CBE+∠BCF）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-$\frac{1}{2}$[360°-（180°-∠A）]=90°-$\frac{1}{2}$∠A.
所以∠D+∠O=90°+$\frac{1}{2}$∠A+90°-$\frac{1}{2}$∠A=180°.
所以当∠A的大小变化时，∠D+∠O的值不变.