《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

8. 如图,在 $10 × 10$ 的正方形网格中,每个小正方形的边长都为 $1$,$\triangle ABC$ 为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).

(1)在图中作出与 $\triangle ABC$ 关于直线 $l$ 对称的图形 $\triangle A_1B_1C_1$(点 $A$ 与点 $A_1$,点 $B$ 与点 $B_1$,点 $C$ 与点 $C_1$ 对应)；
(2)在直线 $l$ 上找一点 $Q$,使 $QB + QC$ 的值最小.

答案：
【解】（1）△A₁B₁C₁如图所示.

（2）点Q如图所示.
QB+QC=QB+QC₁=BC₁，此时QB+QC的值最小.

9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,点 $E$ 在边 $AC$ 上,且 $BE = BC = AE$,求 $\angle A$ 和 $\angle AEB$ 的度数.

答案： 【解】因为AB=AC，
所以∠ABC=∠C.
因为BE=BC=AE，
所以∠A=∠ABE，∠C=∠BEC.
所以∠BEC=∠A+∠ABE=2∠A.
所以∠ABC=∠C=2∠A.
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，所以∠A+2∠A+2∠A=180°.
解得∠A=36°.
所以∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-36°-36°=108°.

10. 如图,已知 $AE \perp FE$,垂足为 $E$,且 $E$ 是 $DC$ 的中点.

(1)如图(1),如果 $FC \perp DC$,$AD \perp DC$,垂足分别为 $C$,$D$,且 $AD = DC$,$AE$ 是 $\angle FAD$ 的平分线吗(不必说明理由)？
(2)如图(2),如果将(1)中的条件“$AD = DC$”去掉,其余条件不变,(1)中的结论仍成立吗？请说明理由.

答案： 【解】（1）AE是∠FAD的平分线.
（2）成立. 理由如下.
延长FE交AD的延长线于点B（图略）.
因为E是DC的中点，所以EC=ED.
因为FC⊥DC，AD⊥DC，
所以∠FCE=∠BDE=90°.
在△FCE和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠FEC=∠BED,\\ EC=ED,\\ ∠FCE=∠BDE,\end{array}\right. $
所以△FCE≌△BDE（ASA）.
所以EF=EB.
因为AE⊥FE，所以AF=AB.
所以AE是∠FAD的平分线.