《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

6. 如图,已知 $P$ 为 $\triangle NMK$ 的两外角的平分线的交点。若 $\angle NPK = 48^{\circ}$,则 $\angle PMK= $(D)。

A.$60^{\circ}$
B.$55^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$42^{\circ}$

答案： D

7. 如图,有一块直角三角形纸板,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB = 7$,$BC = 24$,$AC = 25$,小亮通过作三角形两个内角的平分线找到一点 $Q$,则点 $Q$ 到直角三角形纸板三边的距离之和是9。

答案： 9

8. (数学文化)我们学习过利用尺规作图平分任意一个角,而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的。人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器,如图(1)所示,其中 $AB$ 与半圆 $O$ 的直径 $BC$ 在同一条直线上,且 $AB$ 的长度与半圆的半径相等；$DB$ 与 $AC$ 垂直,垂足为 $B$,$DB$ 足够长。三分角器的使用方法如图(2)所示,若要把 $\angle MEN$ 三等分,只需适当放置三分角器,使 $DB$ 经过 $\angle MEN$ 的顶点 $E$,点 $A$ 落在边 $EM$ 上,半圆 $O$ 与另一边 $EN$ 只有一个交点 $F$,且 $OF\perp EN$,则 $EB$,$EO$ 就把 $\angle MEN$ 三等分了。请你依照上面的描述,求证 $\angle 1= \angle 2= \angle 3$。

答案： 【证明】因为 EB⊥AC，所以∠ABE=∠OBE=90°. 在△ABE 和△OBE 中，AB=OB，∠ABE=∠OBE，BE=BE，所以△ABE≌△OBE（SAS）. 所以∠1=∠2. 因为 BE⊥OB，OF⊥EN，OB=OF，所以∠2=∠3. 所以∠1=∠2=∠3.

9. (数学文化)【阅读材料】如果一个三角形的三边长分别为 $a$,$b$,$c$,记 $p= \frac{a + b + c}{2}$,那么这个三角形的面积为 $S= \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$(海伦公式)。
【解决问题】如图(1),在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 7$,$BC = 5$,$AC = 6$。
(1)利用上面的公式求 $\triangle ABC$ 的面积；
(2)如图(2),$\triangle ABC$ 的两条角平分线 $AD$,$BE$ 相交于点 $O$,求点 $O$ 到边 $AB$ 的距离。

答案： 【解】（1）因为 AB=7，BC=5，AC=6，所以 p=5+6+7/2=18/2=9. 所以△ABC 的面积为 S=√[9(9-5)(9-6)(9-7)]=6√6. （2）连接 OC，过点 O 分别作 OF⊥AB，OH⊥AC，OG⊥BC（图略）. 设点 O 到边 AB 的距离为 h. 因为△ABC 的两条角平分线 AD，BE 相交于点 O，所以 OH=OG=OF=h. 所以△ABC 的面积为 S=S△AOB+S△BOC+S△AOC=1/2 AB·OF+1/2 BC·OG+1/2 AC·OH=1/2×(7+5+6)h. 由（1），知 S=6√6，所以 1/2×(7+5+6)h=6√6. 解得 h=2√6/3. 即点 O 到边 AB 的距离为 2√6/3.