《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

8. (跨学科融合)小明是一位密码翻译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息：$a-b$,$x-y$,$x+y$,$a+b$,$x^{2}-y^{2}$,$a^{2}-b^{2}$分别对应下列六个字：国、爱、我、祖、游、美。现将$(x^{2}-y^{2})a^{2}-(x^{2}-y^{2})b^{2}$分解因式,结果呈现的密码信息可能是(C)。
A.我爱美
B.祖国游
C.我爱祖国
D.美我祖国

答案： C

9. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”。如：$4= 2^{2}-0^{2}$,$12= 4^{2}-2^{2}$,$20= 6^{2}-4^{2}$,因此4,12,20都是“神秘数”。
(1)28是“神秘数”吗？为什么？
(2)设两个连续偶数为$2k+2和2k$(其中$k$取非负整数),由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？

答案：
(1)是，理由如下. 设28是x和$x-2$的平方差，则 $28=x^{2}-(x-2)^{2}=(x+x-2)(x-x+2),$ 即$28=4x-4$，解得$x=8.$ 所以28是8和6的平方差. 所以28是“神秘数”.
(2)是，理由如下. 因为$(2k+2)^{2}-(2k)^{2}$ $=(2k+2+2k)(2k+2-2k)$ $=4(2k+1),$ 所以由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数.