《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

11. 观察下列等式,寻找规律：
① $4^2 - 2^2 = 4×3$；
② $6^2 - 4^2 = 4×5$；
③ $8^2 - 6^2 = 4×7$；
④$10^2-8^2=4×9$；…$$.
(1)根据规律将横线上的等式补充完整.
(2)两个连续的正偶数的平方差能否被 $4$ 整除？能否被 $8$ 整除？请说明理由.
(3)拓展延伸：两个连续的正奇数的平方差是 $8$ 的整数倍,判断这是真命题还是假命题,并说明理由.
（2）能被4整除，不能被8整除. 理由如下.
设两个连续的正偶数为$2n$，$2n+2$（$n$为正整数），则$(2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1)$. 因为$2n+1$为奇数，所以两个连续的正偶数的平方差能被4整除，不能被8整除.
（3）是真命题. 理由如下.
设两个连续的正奇数为$2m-1$，$2m+1$（$m$为正整数），
则$(2m+1)^2-(2m-1)^2$
$=[(2m+1)+(2m-1)][(2m+1)-(2m-1)]=4m·2=8m$.
因为$m$为正整数，所以两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍.

答案： 【解】（1）$10^2-8^2=4×9$；
（2）能被4整除，不能被8整除. 理由如下.
设两个连续的正偶数为$2n$，$2n+2$（$n$为正整数），则$(2n+2)^2-(2n)^2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=4(2n+1)$. 因为$2n+1$为奇数，所以两个连续的正偶数的平方差能被4整除，不能被8整除.
（3）是真命题. 理由如下.
设两个连续的正奇数为$2m-1$，$2m+1$（$m$为正整数），
则$(2m+1)^2-(2m-1)^2$
$=[(2m+1)+(2m-1)][(2m+1)-(2m-1)]=4m·2=8m$.
因为$m$为正整数，所以两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍.

12. 下面介绍一种分解因式的新方法——拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上和为 $0$ 的两项(或几项),使原式适合用已学过的方法进行因式分解.
例如,用拆项补项法分解因式：$x^3 - 10x + 9$.
解：添加两项 $-x^2$ 和 $x^2$.
原式 $= x^3 - x^2 + x^2 - 10x + 9$
$= x^3 - x^2 + x^2 - x - 9x + 9$
$= x^2(x - 1) + x(x - 1) - 9(x - 1)$
$= (x - 1)(x^2 + x - 9)$.
请你结合自己的思考和理解完成下列各题.
(1)分解因式：$x^3 + 9x - 10$；
(2)分解因式：$x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

答案： 【解】
(1)$x^3+9x-10$
$=x^3-x+10x-10$
$=x(x^2-1)+10(x-1)$
$=x(x+1)(x-1)+10(x-1)$
$=(x-1)(x^2+x+10)$；
(2)$x^3-2x^2-5x+6$
$=x^3-2x^2+x-6x+6$
$=x(x^2-2x+1)-6(x-1)$
$=x(x-1)^2-6(x-1)$
$=(x-1)(x^2-x-6)$
$=(x-1)(x-3)(x+2)$.