《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

7. 无论$a$,$b$为任何实数,代数式$a^{2}+b^{2}-4a+6b+13$的值总是(C)。
A.0
B.正数
C.非负数
D.非正数

答案： C

8. 下面是琪琪同学对多项式$(x^{2}-4x+2)(x^{2}-4x+6)+4$进行因式分解的过程。
解：设$x^{2}-4x= y$,
原式$=(y+2)(y+6)+4$(第一步)
$=y^{2}+8y+16$(第二步)
$=(y+4)^{2}$(第三步)
$=(x^{2}-4x+4)^{2}$。(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C)。
A. 提公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？不彻底(填“彻底”或“不彻底”)。若不彻底,因式分解的最后结果为$(x-2)^{4}$。
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1$进行因式分解。
设$x^{2}+2x=y$，则 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}+2x+1)^{2}=(x+1)^{4}.$

答案：
(1)C
(2)不彻底 $(x-2)^{4}$
(3)设$x^{2}+2x=y$，则 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x+2)+1=y(y+2)+1=y^{2}+2y+1=(y+1)^{2}=(x^{2}+2x+1)^{2}=(x+1)^{4}.$

9. (教材再现)【阅读教材】人教版义务教育教科书数学八年级上册第十七章的“阅读与思考”中介绍,在因式分解中有一类形如$x^{2}+(p+q)x+pq$的多项式,其常数项是两个因数的积,而一次项系数恰好是这两个因数的和,则我们可以把它分解成$x^{2}+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)$。例如,$x^{2}+3x+2= x^{2}+(1+2)x+1×2= (x+1)(x+2)$。
分解因式$x^{2}+3x+2$的过程可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数(如图)。

这样,我们也可以得到$x^{2}+3x+2= (x+1)(x+2)$。
【迁移运用】利用上述方法,将下列多项式分解因式：
(1)$x^{2}+5x+6$；
(2)$-2x^{2}-2x+12$。

答案：
(1)$x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3);$
(2)$-2x^{2}-2x+12=-2(x^{2}+x-6)=-2(x-2)(x+3).$