《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

5. 如图,$ AC = BC $,$ CD = CE $,$ \angle ACB = \angle DCE = \beta $,$ AD $,$ BE $ 相交于点 $ M $,连接 $ CM $.
(1) 求证 $ AD = BE $；
(2) 用含 $ \beta $ 的代数式表示 $ \angle AMB $ 的度数.

答案： 【证明】（1）因为∠ACB=∠DCE=β，所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE.
在△ACD 和△BCE 中，
{AC=BC，
∠ACD=∠BCE，
CD=CE，
所以△ACD≌△BCE（SAS）. 所以 AD=BE.
【解】（2）由（1），知△ACD≌△BCE，所以∠CAD=∠CBE.
又因为∠CAD+∠ACB=∠CBE+∠AMB，所以∠AMB=∠ACB=β.

6. 如图,正方形 $ ABCD $ 与正方形 $ CEFH $ 有公共顶点 $ C $,连接 $ DE $,$ BH $,两线相交于点 $ G $,$ BH $ 与 $ CD $ 相交于点 $ O $.求证：
(1) $ BH = DE $；
(2) $ BH \perp DE $.

答案： 【证明】（1）在正方形 ABCD 与正方形 CEFH 中，BC=DC，CH=CE，∠BCD=∠ECH=90°，所以∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE.
在△BCH 和△DCE 中，
{BC=DC，
∠BCH=∠DCE，
CH=CE，
所以△BCH≌△DCE（SAS）. 所以 BH=DE.
（2）由（1），知△BCH≌△DCE，所以∠CBH=∠CDE.
又因为∠BOC=∠DOG，所以∠DGO=∠BCO=90°. 所以 BH⊥DE.

7. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是边 $ BC $ 上一点,且 $ BE = CD $,$ \angle B = \angle AED = \angle C $.求证 $ AE = ED $.

答案： 【证明】因为∠B=∠AED=∠C，∠AEC=∠B+∠BAE，∠AEC=∠AED+∠CED，所以∠BAE=∠CED.
在△ABE 和△ECD 中，
{∠BAE=∠CED，
∠B=∠C，
BE=CD，
所以△ABE≌△ECD（AAS）. 所以 AE=ED.

8. 如图,点 $ B $,$ C $,$ D $ 在同一条直线上,$ AB \perp BD $,$ DE \perp BD $,$ AC \perp CE $,$ AB = CD $.
(1) 求证 $ \triangle ABC \cong \triangle CDE $；
(2) 若 $ \angle ACB = 35^{\circ} $,$ \angle CAE = 45^{\circ} $,求 $ \angle AED $ 的度数.

答案： 【证明】（1）因为 AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，所以∠B=∠D=∠ACE=90°.
所以∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠DCE=90°. 所以∠BAC=∠DCE.
在△ABC 和△CDE 中，
{∠BAC=∠DCE，
AB=CD，
∠B=∠D，
所以△ABC≌△CDE（ASA）.
（2）由（1）知△ABC≌△CDE，所以∠ACB=∠CED=35°.
因为∠ACE=90°，∠CAE=45°，所以∠AEC=45°.
所以∠AED=∠AEC+∠CED=45°+35°=80°.