《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

4. 如图,在等腰三角形ABC中,AB = AC,AB＞BC,点D在边BC上,且DC = 3BD,点E,F在线段AD上,满足∠BED = ∠CFD = ∠BAC。若S△ABC = 24,则S△ABE + S△CDF = ____18__。
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答案： 18

5. 如图,D是△ABC的边BC上一点,点F在BC的延长线上,EF⊥AD,垂足为E,且EF平分∠AFB,∠B = ∠FAC。求证：
(1)AF = DF；
(2)AD是△ABC的角平分线。
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答案： （1）【证明】因为EF平分∠AFB，所以∠AFE=∠DFE.因为EF⊥AD，所以∠AEF=∠DEF=90°.在△AEF和△DEF中{∠AFE=∠DFE，EF=EF，∠AEF=∠DEF，所以△AEF≌△DEF（ASA）.所以AF=DF.（2）【证明】由（1）知△AEF≌△DEF，所以∠DAF=∠ADF.因为∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠DAC+∠FAC，所以∠B+∠BAD=∠DAC+∠FAC.又因为∠B=∠FAC，所以∠BAD=∠DAC.所以AD是△ABC的角平分线.

6. (数学模型)已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA = CB,E,F是直线CD上的两点,且∠BEC = ∠CFA = α。
(1)【观察猜想】如图(1),当直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上时,若∠BCA = α = 90°,则BE=CF,BE - AF=EF。(填“＞”“＜”或“=”)
(2)【类比探究】如图(2),在(1)的条件下,若∠BCA + α = 180°,则(1)中的两个结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由。
(3)【反思提升】如图(3),当直线CD不经过∠BCA的内部,且∠BCA = α时,若EF = 8,AF = 5,求BC的取值范围。
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答案： （1）= =（2）（1）中的结论仍然成立.证明如下.因为∠CBE+∠BCE=180°-∠BEC=180°-α，∠BCA=180°-α，所以∠CBE+∠BCE=∠BCA.又因为∠ACF+∠BCE=∠BCA，所以∠CBE=∠ACF.在△BCE和△CAF中，{∠BEC=∠CFA，∠CBE=∠ACF，BC=CA，所以△BCE≌△CAF（AAS）.所以BE=CF，CE=AF.所以EF=CF-CE=BE-AF.（3）因为∠BEC=∠CFA=∠BCA，∠BEC+∠BCE+∠CBE=180°，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，所以∠CBE=∠ACF.在△BEC和△CFA中，{∠BEC=∠CFA，∠CBE=∠ACF，BC=CA，所以△BEC≌△CFA（AAS）.所以BE=CF，CE=AF=5.又因为EF=8，所以BE=CF=EF-CE=3.在△BCE中，CE-BE＜BC＜CE+BE，所以2＜BC＜8.