《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

5. 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,$ \angle ABC 与 \angle ACB $的平分线相交于点 $ P $,且 $ PD // AB $,$ PE // AC $.
(1)求证：$\triangle PDE$是等边三角形.
(2)线段 $ BD $,$ DE $,$ EC $ 三者之间有什么数量关系？请说明理由.

答案： （1）【证明】因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以 $AB=AC=BC$，$\angle ABC=\angle ACB=60°$.
因为 $PD// AB$，$PE// AC$，
所以$\angle ABC=\angle PDE=60°$，$\angle ACB=\angle PED=60°$.
所以$\angle DPE=180°-\angle PDE-\angle PED=60°$.
所以$\triangle PDE$是等边三角形.
（2）【解】$BD=DE=EC$. 理由如下.
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle ABC=\angle ACB=60°$.
因为 $PB$平分$\angle ABC$，
所以$\angle ABP=\angle PBD=30°$.
因为 $PD// AB$，
所以$\angle BPD=\angle ABP=30°$.
所以$\angle DBP=\angle DPB$. 所以 $BD=PD$.
同理，$EC=EP$.
由（1），得 $DE=PD=EP$.
所以 $BD=DE=EC$.

6. 【阅读材料】如图(1),在$\triangle ABC$中,$ AB = AC $,$ P $ 为底边 $ BC $ 上一点,点 $ P $到两腰的距离分别为 $ r_1 $,$ r_2 $,腰上的高为 $ h $,连接 $ AP $,则 $ S_{\triangle ABP} + S_{\triangle ACP} = S_{\triangle ABC} $,即$ \frac{1}{2}AB \cdot r_1 + \frac{1}{2}AC \cdot r_2 = \frac{1}{2}AB \cdot h $,所以 $ r_1 + r_2 = h $(定值),即 $ PE + PF $ 为定值.
(1)【深入探究】将“如图(1),在$\triangle ABC$中,$ AB = AC $,$ P $ 为底边 $ BC $ 上一点”改成“如图(2),$ P $ 为等边三角形 $ ABC $ 内一点”,作 $ PE \perp AB $,$ PF \perp AC $,$ PM \perp BC $,$ BG \perp AC $,垂足分别为 $ E $,$ F $,$ M $,$ G $,有类似结论吗？请写出结论并证明.
(2)【理解与应用】如图(3),当点 $ P $在等边三角形 $ ABC $ 外时,(1)中结论是否成立？若成立,请予以证明；若不成立,请写出 $ PE $,$ PF $,$ PM $ 和 $ BG $ 之间的关系,并说明理由.

答案： （1）【解】$PE+PF+PM=BG$. 证明如下.
在题图（2）中连接 $PA$，$PB$，$PC$（图略），
则 $S_{\triangle ABP}+S_{\triangle BCP}+S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ABC}$.
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以 $AB=AC=BC$.
因为 $PE\perp AB$，$PF\perp AC$，$PM\perp BC$，$BG\perp AC$，所以$\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF+\frac{1}{2}BC\cdot PM=\frac{1}{2}AC\cdot BG$.
所以 $PE+PF+PM=BG$.
（2）【解】（1）中结论不成立，$PE+PF-PM=BG$. 理由如下.
在题图（3）中连接 $PA$，$PB$，$PC$（图略），
则 $S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}-S_{\triangle BCP}=S_{\triangle ABC}$.
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以 $AB=AC=BC$.
因为 $PE\perp AB$，$PF\perp AC$，$PM\perp BC$，$BG\perp AC$，所以$\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF-\frac{1}{2}BC\cdot PM=\frac{1}{2}AC\cdot BG$.
所以 $PE+PF-PM=BG$.