《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

10. 已知$(x^{2}+ax - 2)(3x + b)的展开式中不含x$的一次项,常数项是$-6$.
(1)求$a$,$b$的值；
(2)先化简,再求值：$(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})$.

答案： 【解】（1）因为 $(x^{2}+ax-2)(3x+b)=3x^{3}+bx^{2}+3ax^{2}+abx-6x-2b=3x^{3}+(b+3a)x^{2}+(ab-6)x-2b$．又因为展开式中不含x的一次项，常数项是-6，所以 $ab-6=0$，$-2b=-6$．解得 $a=2$，$b=3$．（2）原式$=a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}$．因为 $a=2$，$b=3$，所以原式$=2^{3}+3^{3}=8+27=35$．

11. 把完全平方公式$(a\pm b)^{2}= a^{2}\pm 2ab + b^{2}$适当地变形,可解决很多数学问题. 例如：若$a + b = 4$,$ab = 2$,求$a^{2}+b^{2}$的值.
解：因为$a + b = 4$,$ab = 2$,
所以$(a + b)^{2}= 16$,$2ab = 4$.
所以$a^{2}+b^{2}+2ab = 16$.
所以$a^{2}+b^{2}= 8$.
根据上面的解题思路与方法,解答下列问题：
(1)若$x + y = 6$,$x^{2}+y^{2}= 20$,求$xy$的值；
(2)若$2m + n = 3$,$mn = 1$,求$2m - n$的值.

答案： 【解】（1）因为 $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=36$，$x^{2}+y^{2}=20$，所以 $20+2xy=36$．所以 $xy=8$．（2）因为 $(2m-n)^{2}=(2m+n)^{2}-8mn=3^{2}-8=1$，所以 $2m-n=\pm 1$．