《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

1. (乘法的)完全平方公式：
$(a + b)^{2}= $$a^{2}+2ab+b^{2}$,
$(a - b)^{2}= $$a^{2}-2ab+b^{2}$。
也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的$2$倍。

答案： $a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$ 平方和 积

2. 完全平方公式的特征：一个二项式的平方,等于这个二项式的两项的平方和加上这两项的积的$2$倍。
巧记：首平方加尾平方,首尾两倍放中央。

答案： 平方和 积

3. 完全平方公式的几何意义。
图16.3-4中整体的图形面积可表示为$(a + b)^{2}$,
也可用各部分面积之和表示为$a^{2}+2ab + b^{2}$,
所以$(a + b)^{2}= a^{2}+2ab + b^{2}$。
图16.3-5中阴影部分的面积可表示为$(a - b)^{2}$,


也可用整体图形与其余部分面积之差表示为$a^{2}-2ab + b^{2}$,
所以$(a - b)^{2}= a^{2}-2ab + b^{2}$。

答案： 完全平方公式的几何意义分别通过边长为(a+b)的正方形面积和边长为a的正方形中阴影部分（边长a-b）面积得证，即(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。

4. 两数和的完全平方公式与两数差的完全平方公式的转化。
因为$a^{2}+2ab + b^{2}-4ab = a^{2}-2ab + b^{2}$,
所以$(a + b)^{2}-4ab = (a - b)^{2}$。

答案： $(a + b)^{2}-4ab=(a - b)^{2}$

【例1】运用完全平方公式计算：
(1)$(-5x + 4y)^{2}$；(2)$(2x-\frac{1}{3}y)^{2}$；
(3)$(\frac{2}{3}a-\frac{1}{2}b)^{2}$；(4)$(-mn+\frac{1}{4})^{2}$。

答案：