《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$。

(1)若$\angle C = 42^{\circ}$,求$\angle ADB$的度数。
(2)在图中画出$\triangle ABC的边BC上的高AE$,与$BD相交于点F$。求证：
①$\angle BAE = \angle C$；②$\angle AFD = \angle ADF$。

答案：
【解】（1）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=42°，所以∠ABC=90°-42°=48°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=24°.
所以∠ADB=90°-∠ABD=66°.
【证明】（2）画出边BC上的高AE，如图所示.

①因为AE是边BC上的高，
所以∠AEC=90°.
所以∠C+∠CAE=90°.
又因为∠BAC=90°，即∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=∠C.
②因为AE是边BC上的高，
所以∠AEB=90°，
所以∠DBC+∠BFE=90°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD=∠DBC.
又因为∠BFE=∠AFD，
所以∠AFD+∠ABD=90°.
因为∠BAC=90°，
所以∠ABD+∠ADF=90°.
所以∠AFD=∠ADF.

7. 小莹将一副三角尺按图中所示的位置摆放在直尺上,则$\angle \alpha=$(B)。

A.$70^{\circ}$
B.$75^{\circ}$
C.$80^{\circ}$
D.$85^{\circ}$

答案： B

8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,点$D在边AB$上,将$\triangle CBD沿CD$折叠,使点$B恰好落在边AC上的点E$处。若$\angle A = 20^{\circ}$,则$\angle CDE= $65°。

答案： 65°

9. (跨学科融合)在学习了平行线和平面镜的相关知识后,老师要求同学们进行跨学科综合编题[注：射到平面镜上的光线(入射光线)和变向后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等]。如图(1),$MN$是平面镜,$AO$,$OB$分别为入射光线与反射光线,则$\angle AOM = \angle BON$。小明设计如下：如图(2),入射光线$DE经镜面PQ与PM$反射后,在点$F$处射出。若$HF\perp PM$,$DE// HF$,镜面$PQ与PM的夹角\angle QPM = 120^{\circ}$,求$\angle MFG$的度数。

答案： 【解】由题意，得∠QED=∠PEF，∠PFE=∠MFG.
因为∠QPM=120°，所以∠PEF+∠PFE=180°-∠QPM=60°.
因为HF⊥PM，所以∠PFH=90°.
设∠PFE=∠MFG=x，则∠QED=∠PEF=60°-x，∠HFE=90°-x，
所以∠DEF=180°-∠QED-∠PEF=180°-2(60°-x)=60°+2x.
因为DE//HF，
所以∠DEF+∠HFE=180°.
所以60°+2x+90°-x=180°.
解得x=30°.
所以∠MFG=30°.