《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

1. 平方差公式、完全平方公式是最常见的乘法公式。下列变形中,运用乘法公式计算$(x + 2y - 1)(x - 2y + 1)$正确的是(D)。
A.$[x-(2y + 1)]^{2}$
B.$[x+(2y + 1)]^{2}$
C.$[(x + 2y)+1][(x - 2y)-1]$
D.$[x+(2y - 1)][x-(2y - 1)]$

答案： D

2. 在运用平方差公式计算$(x + y + a - b)\cdot (x - y + a + b)$时,正确的是(A)。
A.$(x + a)^{2}-(y - b)^{2}$
B.$(x - y)^{2}-(a - b)^{2}$
C.$(x + b)^{2}-(y - a)^{2}$
D.$(x - b)^{2}-(y + a)^{2}$

答案： A

3. 下列各式中,与$(a - b + c)^{2}$的值不相等的是(C)。
A.$[(a - b)+c]^{2}$
B.$[a-(b - c)]^{2}$
C.$[a-(b + c)]^{2}$
D.$[(a + c)-b]^{2}$

答案： C

4. 运用乘法公式计算：
(1)$(a + b - 1)^{2}$；
(2)$(x - 2y - 1)^{2}$；
(3)$(m^{2}-m + 1)(m^{2}+m + 1)$；
(4)$(3m + 2n - p)(3m - 2n + p)$。

答案： 【解】（1）$(a+b-1)^{2}$
$=(a+b)^{2}-2(a+b)+1$
$=a^{2}+2ab+b^{2}-2a-2b+1.$
（2）$(x-2y-1)^{2}$
$=(x-2y)^{2}-2(x-2y)+1$
$=x^{2}-4xy+4y^{2}-2x+4y+1.$
（3）$(m^{2}-m+1)(m^{2}+m+1)$
$=[(m^{2}+1)-m][(m^{2}+1)+m]$
$=(m^{2}+1)^{2}-m^{2}$
$=m^{4}+2m^{2}+1-m^{2}$
$=m^{4}+m^{2}+1.$
（4）$(3m+2n-p)(3m-2n+p)$
$=[3m+(2n-p)][3m-(2n-p)]$
$=(3m)^{2}-(2n-p)^{2}$
$=9m^{2}-4n^{2}+4np-p^{2}.$

5. 若$a - b = 3$,$a - c = 2$,求$(2a - b - c)^{2}+(c - b)^{2}$的值。

答案： 【解】原式$=[(a-b)+(a-c)]^{2}+[(a-b)-(a-c)]^{2}$
$=(3+2)^{2}+(3-2)^{2}=5^{2}+1^{2}=26.$

6. 已知$x - y = 7$,$xy = -10$。
(1)分别求$x^{2}+y^{2}与(x + y)^{2}$的值；
(2)求代数式$(x + y + c)^{2}+(x - y - c)\cdot (x - y + c)-2c(x + y)$的值。

答案： 【解】（1）因为$(x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2},$
所以$x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy=7^{2}+2×(-10)$
$=29.$
所以$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy$
$=29+2×(-10)=9.$
（2）$(x+y+c)^{2}+(x-y-c)(x-y+c)-2c(x+y)$
$=[(x+y)+c]^{2}+[(x-y)-c][(x-y)+c]-2c(x+y)$
$=(x+y)^{2}+2(x+y)c+c^{2}+(x-y)^{2}-c^{2}-2c(x+y)$
$=(x+y)^{2}+(x-y)^{2}$
$=9+49$
$=58.$

7. (创新考法)若$a\neq0$,$Q= (a^{2}-a + 1)(a^{2}+a + 1)$,$P= (a + 1)^{2}(a - 1)^{2}$,猜想$Q与P$的大小关系,并证明你的猜想。

答案： 【解】猜想$Q＞P$. 证明如下.
$Q-P=(a^{2}-a+1)(a^{2}+a+1)-(a+1)^{2}(a-1)^{2}=(a^{2}+1)^{2}-a^{2}-(a^{2}-1)^{2}$
$=a^{4}+2a^{2}+1-a^{2}-(a^{4}-2a^{2}+1)=3a^{2}.$
因为$a≠0$，所以$3a^{2}＞0.$
所以$Q-P＞0$. 所以$Q＞P.$