《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

跟踪练习2 若$a+b= 9$,$a-b= \frac{1}{3}$,则$a^{2}-b^{2}$的值为(B)。
A.$\frac{8}{3}$
B.3
C.$\frac{10}{3}$
D.9

答案： B

1. 把多项式$4a^{2}-1$分解因式,正确的结果是(C)。
A.$(2a+1)^{2}$
B.$(2a-1)^{2}$
C.$(2a+1)(2a-1)$
D.$(4a+1)(4a-1)$

答案： C

2. 课堂上,老师在黑板上写出了如图所示的题目作为课堂训练,小虎同学不小心抄错了一道题,则他抄错的题目是(B)。
|用平方差公式分解因式：|
|(1)$x^{2}-y^{2}$；|
|(2)$-x^{2}-y^{2}$；|
|(3)$-25n^{2}+16m^{2}$；|
|(4)$(m+n)^{2}-1$。|
(第2题)

A.第(1)道题
B.第(2)道题
C.第(3)道题
D.第(4)道题

答案： B

3. 计算$65^{2}-35^{2}$的结果是(A)。
A.3000
B.100
C.1100
D.110

答案： A

4. 如果一个数$a= (2n+1)^{2}-(2n-1)^{2}$,那么我们称这个数$a$为“奇差数”。下列各数为“奇差数”的是(D)。
A.126
B.94
C.82
D.56

答案： D

5. 若$a+b= 2025$,$a-b= 1$,则$(a+1)^{2}-(b-1)^{2}$的值为6075。

答案： 6075

6. 请你仔细阅读以下等式：
①$x^{2}-1= (x-1)(x+1)$；
②$x^{3}-1= (x-1)(x^{2}+x+1)$；
③$x^{4}-1= (x-1)(x^{3}+x^{2}+x+1)$；
④$x^{5}-1= (x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；…。
请根据你发现的规律完成下列问题。
(1)$x^{6}-1= (x-1)\cdot$$(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
(2)$x^{8}-1$$=(x-1)(x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$；
(3)以上各等式,从左到右的变形是(选填“是”或“不是”)因式分解；
(4)将$x^{4}-1$用平方差公式分解因式,其结果为$(x^{2}+1)(x-1)(x+1)$,将该结果与③中右边的代数式进行比较,然后写出将$x^{3}+x^{2}+x+1$分解因式的结果为$(x^{2}+1)(x+1)$。

答案：
(1)$(x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)$
(2)$x^{8}-1$
(3)是
(4)$(x^{2}+1)(x-1)(x+1)$ $(x^{2}+1)(x+1)$

7. 若定义一种运算：$a\triangle b= a^{3}-b^{2}+ab+1$,如$1\triangle(-3)= 1^{3}-(-3)^{2}+1×(-3)+1= 1-9-3+1= -10$。
(1)计算：$(-x)\triangle(1-x)$；
(2)将(1)中计算所得的多项式分解因式。

答案：
(1)由题意，得 $(-x)\triangle (1-x)$ $=(-x)^{3}-(1-x)^{2}+(-x)(1-x)+1$ $=-x^{3}-(1-2x+x^{2})-x+x^{2}+1$ $=-x^{3}-1+2x-x^{2}-x+x^{2}+1$ $=-x^{3}+x.$
(2)$-x^{3}+x=-x(x^{2}-1)$ $=-x(x+1)(x-1).$