《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

5. 在一次数学活动中,小红将一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形沿如图(1)中虚线用剪刀均分成四个全等的小长方形,然后按图(2)的方式拼成一个正方形。小红通过观察图(1)(2),用两种不同的方法表示出了图(2)中阴影部分的面积,并得出$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$这三个代数式之间的一个等量关系。
(1)请写出代数式$(a + b)^{2}$,$(a - b)^{2}$,$ab$之间的一个等量关系,并说明理由；
(2)根据(1)中的等量关系,解决如下问题：若$x + y = 6$,$xy = 4$,求$(x - y)^{2}$的值。

答案： 【解】（1）$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$. 理由如下.
阴影部分的面积可表示为$(a-b)^{2}$或$(a+b)^{2}-4ab,$
所以$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab.$
（2）$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy$
$=6^{2}-4×4=36-16=20.$

6. 【教材再现】人教版义务教育教科书数学八年级上册习题16.3(拓广探索)第7题：已知$a + b = 5$,$ab = 3$,求$a^{2}+b^{2}$的值。
【习题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法(如图所示)。

【方法运用】请你参照上面两种解法,解答以下问题：
(1)已知$a - b = 2$,$a^{2}+b^{2}= 12$,求$ab$的值；
(2)已知$a+\frac{1}{a}= 4$,求$(a-\frac{1}{a})^{2}$的值。

答案： 【解】（1）因为$a-b=2,$
所以$(a-b)^{2}=4$. 所以$a^{2}-2ab+b^{2}=4.$
将$a^{2}+b^{2}=12$代入，得$12-2ab=4,$
解得$ab=4.$
（2）因为$a+\frac {1}{a}=4,$
所以$(a+\frac {1}{a})^{2}=16.$
所以$a^{2}+2+\frac {1}{a^{2}}=16$. 即$a^{2}+\frac {1}{a^{2}}=14.$
所以$(a-\frac {1}{a})^{2}=a^{2}+\frac {1}{a^{2}}-2=14-2=12.$