《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

7. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle BAC$,$DE\perp AB$,垂足为$E$. 若$AC = 4$,$DE = 2$,则$S_{\triangle ACD}= $4.

答案： 4

8. 如图,$\angle ACD是\triangle ABC$的外角,$\angle BEC = 40^{\circ}$,$\angle ABC和\angle ACD的平分线相交于点E$,连接$AE$,则$\angle CAE= $50°.

答案： 50°

9. 如图,已知四边形$ABCD$,请用直尺和圆规作$\angle B的平分线BE$,交$AD于点E$(不写作法,保留作图痕迹).

答案：
【解】如图.

10. 如图,已知$AD = AB$,$AC = AE$,$\angle DAB= \angle CAE$.
(1)求证$\triangle BAE\cong \triangle DAC$；
(2)若$\angle CAD = 126^{\circ}$,$\angle D = 20^{\circ}$,求$\angle E$的度数.

答案： 【证明】（1）因为∠DAB=∠CAE，
所以∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE.
在△BAE和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAE=∠DAC,\\ AE=AC,\end{array}\right. $
所以△BAE≌△DAC（SAS）.
【解】（2）由（1）知△BAE≌△DAC，
所以∠E=∠C=180°-(∠CAD+∠D)=180°-(126°+20°)=34°.

11. 如图,$\triangle ABC的两条高AD与BE相交于点O$,$AD = BD$,$AC = 8$.
(1)求$BO$的长.
(2)$F是射线BC$上一点,且$CF = AO$,动点$P从点O$出发,沿线段$OB以每秒1个单位长度的速度向终点B$运动,同时动点$Q从点A$出发,沿射线$AC以每秒4$个单位长度的速度运动,当点$P到达点B$时,$P$,$Q$两点同时停止运动.设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,当$\triangle AOP与\triangle FCQ$全等时,求$t$的值.

答案：
【解】（1）因为AD，BE是△ABC的两条高，
所以∠ADC=∠BEC=∠BEA=90°.
所以∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠AOE=90°. 所以∠ACD=∠AOE.
又因为∠BOD=∠AOE，
所以∠BOD=∠ACD.
在△BDO和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BOD=∠ACD,\\ ∠BDO=∠ADC,\\ BD=AD,\end{array}\right. $
所以△BDO≌△ADC（AAS）.
所以BO=AC=8.
（2）①如图（1），当点F在BC的延长线上时，因为CF=AO，又由（1）知△BDO≌△ADC，所以∠BOD=∠ACD，所以∠AOP=180°-∠BOD=180°-∠ACD=∠FCQ，
所以当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ.
因为OP=t，CQ=8-4t，
所以t=8-4t. 解得$t=\frac {8}{5}$.


②如图（2），当点F在线段BC上时，
因为CF=AO，∠BOD=∠ACD，所以∠AOP=180°-∠BOD=180°-∠ACD=∠FCQ，
所以当△AOP≌△FCQ时，OP=CQ.
因为OP=t，CQ=4t-8，
所以t=4t-8. 解得$t=\frac {8}{3}$.
综上所述，t的值为$\frac {8}{5}$或$\frac {8}{3}$.