《2025年金学典同步解析与测评贵州人民出版社八年级数学上册人教版》

7. 如图,在平面直角坐标系的正方形网格中,每个小正方形的边长均为 $1$ 个单位长度,$\triangle ABC$ 的三个顶点都在格点上。

(1) 在网格中画出 $\triangle ABC$ 向右平移 $5$ 个单位长度,向上平移 $1$ 个单位长度得到的 $\triangle A_1B_1C_1$；
(2) 在网格中画出与 $\triangle ABC$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $\triangle A_2B_2C_2$；
(3) 在 $x$ 轴上找一点 $Q$,使得 $|QA_1 - QC_2|$ 的值最大,求点 $Q$ 的坐标。

答案：
【解】（1）△A₁B₁C₁如图所示.
（2）△A₂B₂C₂如图所示.

（3）点Q如图所示，点Q的坐标为（-2，0）.

8. (新定义) 在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知点 $M(a,b)$,我们将经过点 $(a,0)$ 且垂直于 $x$ 轴的直线记为直线 $x = a$,将经过点 $(0,b)$ 且垂直于 $y$ 轴的直线记为直线 $y = b$。
对于点 $P$ 给出如下定义：若点 $P$ 关于直线 $x = a$ 对称的点为 $P'$,点 $P'$ 关于直线 $y = b$ 对称的点为 $Q$,则称点 $Q$ 为点 $P$ 关于 $M$ 的“对应点”。对于图形 $G$ 给出如下定义：若图形 $G$ 关于直线 $x = a$ 对称的图形为 $G'$,图形 $G'$ 关于直线 $y = b$ 对称的图形为 $W$,则称图形 $W$ 为图形 $G$ 关于 $M$ 的“对应图形”。
如图,已知 $\triangle ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(2,0)$,$B(4,0)$,$C(3,-3)$。

(1) 已知点 $M(1,1)$。
①由定义知,点 $A$ 关于直线 $x = 1$ 对称的点为 $(0,0)$,点 $(0,0)$ 关于直线 $y = 1$ 对称的点为 $(0,2)$,则点 $A$ 关于 $M$ 的“对应点”为点 $(0,2)$。那么,点 $B$ 关于 $M$ 的“对应点”为点______,点 $C$ 关于 $M$ 的“对应点”为点______；
②已知点 $P_1(-1,n)$ 和点 $P_2(-1,n + 1)$。若线段 $P_1P_2$ 关于 $M$ 的“对应线段” $Q_1Q_2$ 在 $\triangle ABC$ 的内部(不含三角形的边),求 $n$ 的取值范围。
(2) 若 $y$ 轴上存在点 $D$,使得点 $D$ 关于 $M(a,b)$ 的“对应点”恰好落在 $\triangle ABC$ 的边上,求点 $M$ 的横坐标 $a$ 的取值范围。

答案：
【解】（1）①（-2，2）（-1，5）
②点P₁（-1，n）关于M的“对应点”为Q₁（3，2-n），点P₂（-1，n+1）关于M的“对应点”为Q₂（3，1-n）.
如图，若线段Q₁Q₂在△ABC的内部（不含三角形的边），则只需点Q₁在x轴下方，点Q₂在点C（3，-3）上方，所以$\left\{\begin{array}{l}2-n＜0,\\ 1-n＞-3,\end{array}\right.$解得2＜n＜4.

（2）设点D（0，d），点D关于M的“对应点”为（2a，2b-d）.因为点D关于M的“对应点”恰好落在△ABC的边上，所以2≤2a≤4，所以1≤a≤2.