《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

13.(★)多项式$2x^{4} - 3x^{5} - 5$是五次三项式,最高次项的系数是-3,常数项是-5.

答案： 五
三
-3
-5

14.(★★)小刚和小丽利用印有多项式的卡片玩游戏,并制定了如下游戏规则：(1)每人每次抽取4张卡片,如果抽到白色卡片,那么加上卡片上式子最高次项的系数；如果抽到灰色卡片,那么减去卡片上式子的常数项.
(2)比较两人所抽取4张卡片的计算结果,结果大的为胜者.
小丽抽到了如图①的4张卡片,小刚抽到了如图②的4张卡片. 问：他们两人谁获胜了？
小丽：$(a + 4)+(a^{3} + 2b)+(a^{2} + 2a)+(a^{2}b + 2a^{4})= (2a^{4}+a^{3}+2a^{2}b + a^{2}+3a + 2b + 4)$,最高次项系数和为$2 + 1+2 = 5$,常数项和为4,结果为$5 - 4 = 1$；
小刚：$(3a^{2}+a)-(3b + 2)+(x - 5)-(-a^{4}+2^{5})= (a^{4}+3a^{2}-3b+x+a - 37)$,最高次项系数和为1,常数项和为$-2 - 5 - 32= -39$,结果为$1-(-39)= 40$；
因为$1＜40$,所以小刚获胜.

答案： 解:根据题意，得
小丽所抽取的卡片的计算结果是
-(+4)+1-0+2=-1，
小刚所抽取的卡片的计算结果是
0+3-(-5)+(-1)=7.
因为$-1\lt 7,$
所以小刚获胜了.

15.(★★)已知关于$x$,$y的多项式\frac{1}{5}x^{m + 1}y^{2} + xy - 4x^{3} + 1$($m$是自然数).
(1)该多项式的次数最小是3次；
(2)若该多项式是八次多项式,且单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m - 3}$与该多项式的次数相同,求$(-m)^{3} + 2n$的值.
(1)当$m + 1 + 2 = 3即m = 0$时次数最小为3次；
(2)因为多项式是八次多项式,所以$m + 1 + 2 = 8$,解得$m = 5$；又因为单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m - 3}$与该多项式的次数相同,所以$2n + m - 3 = 8$,把$m = 5代入得2n + 5 - 3 = 8$,$2n = 6$,$n = 3$,则$(-m)^{3} + 2n= (-5)^{3}+2×3= -125 + 6= -119$
3
-119

答案：
(1)多项式的次数由各项中次数最高的项决定。各项次数分别为：$\frac{1}{5}x^{m + 1}y^{2}$的次数为$m + 1 + 2$，$xy$的次数为$2$，$-4x^{3}$的次数为$3$，常数项$1$的次数为$0$。要使多项式次数最小，则$m + 1 + 2$最小且不低于其他项次数。当$m + 1 + 2 = 3$时，$m = 0$，此时多项式次数为$3$，故该多项式的次数最小是$3$次。
(2)因为多项式是八次多项式，所以最高次项$\frac{1}{5}x^{m + 1}y^{2}$的次数为$8$，即$m + 1 + 2 = 8$，解得$m = 5$。单项式$\frac{1}{8}x^{2n}y^{m - 3}$的次数与多项式相同，为$8$，则$2n + (m - 3) = 8$。将$m = 5$代入得$2n + 5 - 3 = 8$，$2n = 6$，$n = 3$。所以$(-m)^{3} + 2n = (-5)^{3} + 2×3 = -125 + 6 = -119$。
综上，
(1)答案为$3$；
(2)答案为$-119$。

16.(★)已知代数式：①$-3$,②$-5ab$,③$\frac{a + 2}{2}$,④$\frac{1}{x}$,⑤$\frac{1}{2}x^{2} - 3x + 1$,⑥$-\frac{5}{7}xy$. 其中：
(1)属于单项式的有①②⑥；
(2)属于多项式的有③⑤；
(3)属于整式的有①②③⑤⑥.

答案： ①②
③⑤
①②③⑤⑥

17.(★★)阅读理解：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列叫作把这个多项式按字母$x$的升幂排列. 如,$-1 + 3x - 2x^{2} + 4x^{3}叫作按字母x$的升幂排列,$2 - 3xy + xy^{2} - 5x^{2}y^{3}叫作按字母y$的升幂排列.
已知多项式$2x^{2} - 8xy^{3} + x^{4}y - \frac{1}{2}y^{2} + 9x^{3}$.
(1)该多项式是关于$x$,$y$的五次五项式,是关于字母$x$的四次项式；
(2)把该多项式按字母$x$的升幂排列.$-\frac{1}{2}y^{2}-8xy^{3}+2x^{2}+9x^{3}+x^{4}y$

答案： 五
五
四
五
解:
(2)把该多项式按字母x的升幂排列为
$-\frac{1}{2}y²-8xy³+2x²+9x³+x^4y$