《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

16. (★★)若$n$为正整数,则$(-1)^{2n}=$1,$(-1)^{2n + 1}=$-1.

答案： 1
-1

17. (★★)观察下列算式：$2^{1}= 2$,$2^{2}= 4$,$2^{3}= 8$,$2^{4}= 16$,$2^{5}= 32$,$2^{6}= 64$,$2^{7}= 128$,$2^{8}= 256$,…,则$2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+…+2^{2026}$的末位数字是【C】
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： C

18. (★★)计算：
(1)$(-1)^{2024}$；
(2)$\left(-\dfrac{3}{2}\right)^{3}$；
(3)$-\dfrac{3^{2}}{4}$；
(4)$\left(\dfrac{1}{2}-2\right)^{2}$.

答案： 解:
(1)原式=1
解:
(2)原式$=-\frac{27}{8}$
解:
(3)原式$=-\frac{9}{4}$
解:
(4)原式$=\frac{9}{4}$

19. (★★★)阅读材料,完成填空：
你能比较$2024^{2025}和2025^{2024}$的大小吗？
为了解决问题,先把问题一般化,即比较$n^{n + 1}和(n + 1)^{n}$的大小($n大于或等于1$,且$n$为正整数),然后从分析$n = 1$,$2$,$3$,…这些简单的情形入手,从中发现规律,经过归纳、猜想得出结论.
(1)通过计算,在横线上填“$＞$”“$＜$”或“$=$”：
①$1^{2}$＜$2^{1}$；
②$2^{3}$＜$3^{2}$；
③$3^{4}$＞$4^{3}$；
④$4^{5}$＞$5^{4}$；
⑤$5^{6}$＞$6^{5}$；
⑥$6^{7}$＞$7^{6}$；
⑦$7^{8}$＞$8^{7}$；…
(2)由第(1)题的结果经过归纳,可以猜想$n^{n + 1}和(n + 1)^{n}$的大小关系是当n大于或等于1且n小于或等于2,且n为整数时$,n^{n+1}＜(n+1)^n$；当n大于或等于3,且n为整数时$,n^{n+1}＞(n+1)^n$.
(3)根据上面的归纳、猜想得到一般性结论,可以得到$2024^{2025}$＞$2025^{2024}$.

答案： ＜
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当n大于或
等于1且n小于或等于2,且n为整数时$,n^{n+1}＜(n+1)^n$
当n大于或等于3,且n为整数时$,n^{n+1}＞(n+1)^n$
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