《2025年基础训练大象出版社七年级数学上册人教版》

16.(★★)已知$(a - 2)x^{2}y^{|a| + 1}是关于x$,$y$的五次单项式,试求下列代数式的值：
(1)$a^{3} - 1$；
(2)$(a - 1)(a^{2} + a + 1)$.
因为$(a - 2)x^{2}y^{|a| + 1}$是五次单项式,所以$\begin{cases}a - 2\neq 0\\2 + |a| + 1 = 5\end{cases} $,由$2 + |a| + 1 = 5得|a| = 2$,$a = \pm 2$,又$a - 2\neq 0$,所以$a = -2$.
(1)$a^{3} - 1 = (-2)^{3} - 1 = -8 - 1 = -9$；
(2)$(a - 1)(a^{2} + a + 1)= a^{3}-1= -9$

答案： 答题卡：
(1)
由题意，$(a - 2)x^{2}y^{|a| + 1}$是关于$x$，$y$的五次单项式，所以：
$\begin{cases}a - 2 \neq 0, \\2 + |a| + 1 = 5.\end{cases}$
由$2 + |a| + 1 = 5$，
得$|a| = 2$，
即$a = \pm 2$，
又因为$a - 2 \neq 0$，
所以$a = -2$，
代入$a^{3} - 1$，
得$(-2)^{3} - 1 = -8 - 1 = -9$。
(2)
由
(1)得$a = -2$，
代入$(a - 1)(a^{2} + a + 1)$，
得$(-2 - 1)((-2)^{2} - 2 + 1) = (-3)(4 - 2 + 1) = (-3)(3) = -9$，
或由
(1)中已知$a^{3} - 1 = (a - 1)(a^{2} + a + 1) = -9$，
所以$(a - 1)(a^{2} + a + 1) = -9$。

17.(★★)【观察与发现】
$x^{2}y,-3x^{2}y^{2},5x^{2}y^{3},-7x^{2}y^{4},9x^{2}y^{5},-11x^{2}y^{6},…(1)$直接写出：第7个单项式是$13x^{2}y^{7}$,第8个单项式是$-15x^{2}y^{8}$.(2)第n(n为大于0的整数)个单项式是什么$( - 1)^{n + 1}(2n - 1)x^{2}y^{n}$？(3)第2n(n为大于0的整数)个单项式是什么？指出它的系数和次数.第2n个单项式是$( - 1)^{2n + 1}(4n - 1)x^{2}y^{2n}= -(4n - 1)x^{2}y^{2n},$系数是$-(4n - 1),$次数是$2 + 2n$

答案： 答题卡：
(1) 第7个单项式是 $13x^{2}y^{7}$，第8个单项式是 $-15x^{2}y^{8}$。
(2) 第$n$个单项式是 $( - 1)^{n + 1}(2n - 1)x^{2}y^{n}$。
(3) 第$2n$个单项式是$( - 1)^{2n + 1}(4n - 1)x^{2}y^{2n} = - (4n - 1)x^{2}y^{2n}$，系数是 $- (4n - 1)$，次数是 $2 + 2n$。

18.(★★)给出以下七个代数式：$-2a$,$3ab^{2}$,$\frac{2}{3}$,$3a^{2}b$,$-3a^{3}$,$5^{2}$,$-\frac{3b}{4}$.
请按要求进行分类.
(1)分成两类,分类方法是分成含字母与不含字母两类.
①含字母的有$-2a$,$3ab^{2}$,$3a^{2}b$,$-3a^{3}$,$-\frac{3b}{4}$；
②不含字母的有$\frac{2}{3}$,$5^{2}$.
(2)模仿(1)的分类方式,分成三类,分类方法是按单项式的次数分类.
①次数为0的单项式有$\frac{2}{3}$,$5^{2}$；
②次数为1的单项式有$-2a$,$-\frac{3b}{4}$；
③次数为3的单项式有$3ab^{2}$,$3a^{2}b$,$-3a^{3}$.

答案：
(1)①含字母的有$-2a$,$3ab^{2}$,$3a^{2}b$,$-3a^{3}$,$-\frac{3b}{4}$；
②不含字母的有$\frac{2}{3}$,$5^{2}$.
(2)①次数为0的单项式有$\frac{2}{3}$,$5^{2}$；
②次数为1的单项式有$-2a$,$-\frac{3b}{4}$；
③次数为3的单项式有$3ab^{2}$,$3a^{2}b$,$-3a^{3}$.