《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册北师大版》

1. 在 $ Rt\triangle ABC $ 中,已知 $ AC = 4 $,$ BC = 3 $。
(1)$ Rt\triangle ABC $ 的斜边长为4或5。
(2)若 $ \angle C = 90^{\circ} $,则边 $ AB $ 上的高为$\frac{12}{5}$。
(3)将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形(A)
A. 仍是直角三角形
B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形
D. 不可能是直角三角形

答案：
(1)4或5
(2)$\frac{12}{5}$
(3)A

2. 如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形。
(1)设直角三角形的两直角边长分别为 $ a $,$ b ( a ＞ b ) $,斜边长为 $ c $,利用“赵爽弦图”验证 $ a^{2} + b^{2} = c^{2} $；
(2)若直角三角形中的较短直角边长 $ AE $ 为 $ 2 $,中间小正方形的面积为 $ 9 $,则大正方形的面积为______。

答案：
(1)因为$S_{大正方形}=S_{小正方形}+4S_{直角三角形}=(a-b)^2+4×$$\frac{1}{2}ab=a^2-2ab+b^2+2ab=a^2+b^2$,$S_{大正方形}=c^2$,所以$a^2+b^2=c^2$。
(2)29

3. 如图,已知某学校 $ A $ 与直线公路 $ BD $ 相距 $ 3 km $,且与该公路上一个车站 $ D $ 相距 $ 5 km $,现要在公路边建一个超市 $ C $,使之与学校 $ A $ 及车站 $ D $ 距离相等,求该超市与车站 $ D $ 的距离。

答案： 该超市与车站D的距离为$\frac{25}{8}$km。

4. 如图,$ M $ 是线段 $ AB $ 上一动点,$ AB = 4 $,$ CA \perp AB $,$ CA = 2 $,$ DB \perp AB $,$ DB = 1 $,请求出 $ CM + DM $ 的最小值。

答案： $CM+DM$的最小值为5。