《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册北师大版》

10. 若使算式$2\sqrt{3}○\sqrt{27}$的运算结果最小,则○表示的运算符号是(B)
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$

答案： B

11. 若二次根式$\sqrt{5a+3}$是最简二次根式,则正整数$a的最小值为\underline{2}$。

答案： 2

变式题 [拓展变式]已知二次根式$\sqrt{23-a}与\sqrt{8}$化成最简二次根式后,被开方数相同,若$a$是正整数,则$a的最小值为\underline{5}$。

答案： 5

12. 新考向 数学文化·海伦-秦九韶公式 如果一个三角形的三边长分别为$a$,$b$,$c$,记$p= \frac{a+b+c}{2}$,那么这个三角形的面积$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,这个公式称为海伦-秦九韶公式。在$\triangle ABC$中,$AB = 4$,$BC = 9$,$AC = 11$,则$\triangle ABC的面积是\underline{$12\sqrt{2}$}$。

答案： $12\sqrt{2}$

13. 计算：
(1)[2025·郑州二七区期末]$\sqrt{12}+3\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{48}$；
(2)$(\sqrt{\frac{4}{7}}+\sqrt{7})×\sqrt{14}$；
(3)$(\sqrt{48}+\sqrt{20})-(\sqrt{12}-\sqrt{5})$。

答案： 解:
(1)原式$=-\sqrt{3}$;
(2)原式$=9\sqrt{2}$;
(3)原式$=2\sqrt{3}+3\sqrt{5}$。

14. 新考向 规律探索 观察下列各式及其验证过程：
①$\sqrt{2+\frac{2}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$。
验证：$\sqrt{2+\frac{2}{3}}= \sqrt{\frac{2×3+2}{3}}= \sqrt{\frac{2^{3}}{3}}= 2\sqrt{\frac{2}{3}}$。
②$\sqrt{3+\frac{3}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}$。
验证：$\sqrt{3+\frac{3}{8}}= \sqrt{\frac{3×8+3}{8}}= \sqrt{\frac{3^{3}}{8}}= 3\sqrt{\frac{3}{8}}$。
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想$\sqrt{4+\frac{4}{15}}$的变形结果并验证；
(2)$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$针对上述各式反映的规律,写出用含$n$($n\geqslant2且n$为整数)的式子表示的等式：$\underline{\quad\quad}$；
(3)请你通过计算,验证：当$n = 10$时,对应的式子是正确的。

答案： 解:
(1)猜想:$\sqrt{4+\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$。验证略。
(2)$\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}$
(3)略。