《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册北师大版》

4. 先化简,再求值：$(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) - x(x - 6) + 9$,其中$x = \sqrt{2} - 1$。

答案： 4.解:原式=6x+6。当x=√2-1时,原式=6√2。

5. [2025·新郑月考]选取三个互不相等的整数,若任意两数的乘积的算术平方根都是正整数,则称这三个数为“和谐数”,其乘积的算术平方根为“和谐根”。例如：$4$,$9$,$25$这三个数,$\sqrt{4 × 9} = 6$,$\sqrt{4 × 25} = 10$,$\sqrt{9 × 25} = 15$,其结果$6$,$10$,$15$都是正整数,所以$4$,$9$,$25$这三个数称为“和谐数”,$6$,$10$,$15$称为“和谐根”。
(1)取三个负整数$-9$,$-4$,$-1$,则这三个数是“和谐数”吗？请说明理由。
(2)①根据题干中的条件任意写出一组“和谐数”：16,9,4(要求三个数都为正整数)。
②请根据做题经验,任意写出一条你新写“和谐数”的心得。称为“和谐数”的三个数满足以下条件:任意两个数的乘积都是完全平方数。
5.解:
(1)三个负整数-9,-4,-1是“和谐数”。理由略。

答案： 5.解:
(1)三个负整数-9,-4,-1是“和谐数”。理由略。
(2)①16,9,4(答案不唯一)②称为“和谐数”的三个数满足以下条件:任意两个数的乘积都是完全平方数。(答案不唯一)

6. 阅读材料：
像$(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) = 1$,$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a(a \geq 0)$,…这种两个含二次根式的代数式相乘,积不含二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式。在进行二次根式运算时,利用有理化因式可以化去分母中的根号。
数学课上,老师出了一道题“已知$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$,求$3a^2 - 6a - 1$的值。”
聪明的小明同学根据上述材料,做了这样的解答：
因为$a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$,
所以$a - 1 = \sqrt{2}$。所以$(a - 1)^2 = 2$,
所以$a^2 - 2a = 1$,所以$3a^2 - 6a = 3$,
所以$3a^2 - 6a - 1 = 2$。
请你根据小明的解答过程,解答下列问题：
(1)化简：$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = $$\sqrt{5}+2$；
(2)若$a = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}}$,求$2a^2 - 12a - 1$的值。
2a²-12a-1=-3。

答案： 6.解:
(1)√5+2
(2)2a²-12a-1=-3。