《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册北师大版》

11. [2025·榆树期末]在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A,\angle B,\angle C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,下列条件不能判断 $\triangle ABC$ 是直角三角形的是(C)
A.$a^{2}+b^{2}= c^{2}$
B.$a = 5,b = 12,c = 13$
C.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$
D.$\angle A= \angle B+\angle C$

答案： C

12. 新考向 动手操作 五根小木棒,其长度分别为 $7,15,20,24,25$,现将它们摆成两个直角三角形,下列示意图中正确的是(C)

答案： C

13. 如图是一个棱长为 $1$ 的正方体的展开图,点 $A,B,C$ 是展开后小正方形的顶点,连接 $AB,BC$,则 $\angle ABC$ 的度数是45°。

答案： 45°

14. 数学课上,老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片 $ABC$。已知底边 $BC = 40cm$,$D$ 为 $AB$ 上一点,且 $CD = 32cm$,$BD = 24cm$。
(1) 试判断 $\triangle BCD$ 的形状,并说明理由；
(2) 求 $AB$ 的长。

答案： 解:
(1)△BCD为直角三角形。理由略。
(2)AB 的长为100/3cm。

15. 新考向 代数推理 【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”。据《周髀》记载,公元前一千多年就发现了“勾三股四弦五”的结论。像 $3,4,5$ 这样为三边长能构成直角三角形的 $3$ 个正整数,称为勾股数。请你观察下列三组勾股数：$(3,4,5)$；$(5,12,13)$；$(7,24,25)$。分析其中的规律,可以发现这些勾股数的勾都是奇数,且从 $3$ 起就没有间断过。
当勾为 $3$ 时,股 $4= \frac{1}{2}×(9 - 1)$,弦 $5= \frac{1}{2}×(9 + 1)$；当勾为 $5$ 时,股 $12= \frac{1}{2}×(25 - 1)$,弦 $13= \frac{1}{2}×(25 + 1)$；当勾为 $7$ 时,股 $24= \frac{1}{2}×(49 - 1)$,弦 $25= \frac{1}{2}×(49 + 1)$。
(1) 如果勾用 $n(n\geq3$,且 $n$ 为奇数)表示时,请用含 $n$ 的式子表示股和弦,则股 = $\frac{1}{2}(n^2 - 1)$,弦 = $\frac{1}{2}(n^2 + 1)$,则据此规律第四组勾股数是$(9,40,41)$。
(2) 若 $a = m^{2}-1,b = 2m,c = m^{2}+1$,其中 $m＞1$ 且 $m$ 是整数。试说明：以 $a,b,c$ 为边长的 $\triangle ABC$ 是直角三角形。
证明：因为$a = m^2 - 1$，$b = 2m$，$c = m^2 + 1$（$m＞1$且$m$是整数），所以$a^2 + b^2 = (m^2 - 1)^2 + (2m)^2 = m^4 - 2m^2 + 1 + 4m^2 = m^4 + 2m^2 + 1$，$c^2 = (m^2 + 1)^2 = m^4 + 2m^2 + 1$，所以$a^2 + b^2 = c^2$，所以以$a$，$b$，$c$为边长的$\triangle ABC$是直角三角形。

答案： 解:
(1)1/2(n²-1) 1/2(n²+1) (9,40,41)
(2)略。