《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册北师大版》

15. 新考向 情境题·台历 如图是添加了便签的台历,正方形$ABFE$为日历区,正方形$EGHD$为备忘录区,长方形$GFCH$为便签区,已知日历区的面积为$270cm^{2}$,备忘录区的面积为$80cm^{2}$,则便签区的面积为______$cm^{2}$。

$(60\sqrt{6}-80)$

答案： $(60\sqrt{6}-80)$

16. 计算：
(1)$2\sqrt{12}×\frac{\sqrt{3}}{4}÷5\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{27}-15\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{1}{4}\sqrt{48}$；
(3)$(3\sqrt{12}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{48})÷2\sqrt{6}$；
(4)$\frac{\sqrt{75}-\sqrt{15}}{\sqrt{3}}+(\sqrt{24}-\sqrt{\frac{1}{3}})×\sqrt{3}$。

答案： 解:
(1)原式=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$;
(2)原式=$-\sqrt{3}$;
(3)原式=$4\sqrt{2}$;
(4)原式=$4-\sqrt{5}+6\sqrt{2}$。

17. 先化简,再求值：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$,其中$a = 3$,$b = 4$。

答案： 解:原式=$2b+2\sqrt{ab}$。当a=3,b=4时,原式=$8+4\sqrt{3}$。

18. 新考向 规律探索 [2025·汝州期中]观察下列各式：
第1个等式：$\sqrt{2+\frac{1}{4}}= 3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
第2个等式：$\sqrt{4+\frac{1}{6}}= 5\sqrt{\frac{1}{6}}$；
第3个等式：$\sqrt{6+\frac{1}{8}}= 7\sqrt{\frac{1}{8}}$；
第4个等式：$\sqrt{8+\frac{1}{10}}= 9\sqrt{\frac{1}{10}}$；
……
根据以上规律,解答下列问题：
(1)直接写出第5个等式：$\sqrt{10+\frac{1}{12}}=11\sqrt{\frac{1}{12}}$；
(2)按照上面每个等式反映的规律,第$n$个等式为$\sqrt{2n+\frac{1}{2n+2}}=(2n+1)\sqrt{\frac{1}{2n+2}}$；
(3)利用上述规律计算：$\sqrt{12+\frac{1}{14}}×\sqrt{20+\frac{1}{22}}×\frac{\sqrt{14}}{7}×\frac{\sqrt{11}}{13}$。
解:原式=$13\sqrt{\frac{1}{14}}×21\sqrt{\frac{1}{22}}×\frac{\sqrt{14}}{7}×\frac{\sqrt{11}}{13}=\frac{13\sqrt{14}}{14}×\frac{21\sqrt{22}}{22}×\frac{\sqrt{14}}{7}×\frac{\sqrt{11}}{13}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

答案： 解:
(1)$\sqrt{10+\frac{1}{12}}=11\sqrt{\frac{1}{12}}$
(2)$\sqrt{2n+\frac{1}{2n+2}}=(2n+1)\sqrt{\frac{1}{2n+2}}$
(3)原式=$13\sqrt{\frac{1}{14}}×21\sqrt{\frac{1}{22}}×\frac{\sqrt{14}}{7}×\frac{\sqrt{11}}{13}=\frac{13\sqrt{14}}{14}×\frac{21\sqrt{22}}{22}×\frac{\sqrt{14}}{7}×\frac{\sqrt{11}}{13}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。