《2025年人教金学典同步解析与测评七年级数学上册人教版云南专版》

【例 2】在一次有 12 个队参加的足球循环赛(每两个队之间只赛一场)中,规定胜一场积 3 分,平一场积 1 分,负一场积 0 分.某队在这次循环赛中,胜场数比负场数多 2 场,共积 18 分,问：该队胜了多少场？
解：
【规律方法】
比赛积分问题中的等量关系
(1)比赛总场数 = 胜场数 + 平场数 + 负场数.
(2)比赛总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分.

答案： 该队胜了5场.

2. 某中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛,每场比赛都要决出胜负,每队胜一场得 2 分,负一场得 1 分.已知七(1)班在 8 场比赛中共得到 13 分,则七(1)班胜、负场数分别是多少？

答案： 解：设七（1）班胜$x$场，则负$(8 - x)$场。
根据得分可列方程：$2x + (8 - x)=13$
去括号得：$2x + 8 - x = 13$
移项得：$2x - x = 13 - 8$
合并同类项得：$x = 5$
则负的场数为：$8 - 5 = 3$（场）
所以七（1）班胜$5$场，负$3$场。

【例 3】某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售,每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售,每吨利润涨至 7500 元.当地一家公司收获这种蔬菜 140t.该公司加工厂的生产能力：如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工 16t；如果对蔬菜进行精加工,每天可加工 6t,但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,该公司必须用 15 天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此,该公司有三种方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：将部分蔬菜进行精加工,其余粗加工,并恰好用 15 天完成.
方案三：尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及进行精加工的蔬菜,在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
解：
【规律方法】
解决方案决策问题的常用策略
(1)先确定方案的个数.
(2)根据题目中的不同方案列出方程并求解,再进行比较.

答案： 选择第二种方案获利最多.理由如下:
设总利润为W.
方案一:因为每天粗加工16 t,140 t可以在15天内加工完,
所以总利润W₁=4 500×140=630 000(元).
方案二:设15天中粗加工蔬菜x天,则精加工蔬菜(15-x)天.
由题意,得16x+6(15-x)=140.
解得x=5.
所以粗加工5天,精加工15-5=10(天).
所以总利润W₂=6×10×7 500+16×5×4 500=810 000(元).
方案三:由题意,得每天精加工6 t,15天一共可以精加工6×15=90(t),则直接销售的蔬菜有140-90=50(t),
所以总利润W₃=90×7 500+50×1 000=725 000(元).
因为W₁＜W₃＜W₂,所以选择第二种方案获利最多.

3. 小明用的数学练习本可以到甲、乙两家商店购买,已知两家商店的标价都是 2 元/本,元旦期间两家商店均打折促销.甲商店全部按标价的 80%出售,乙商店的优惠方案是购买 12 本以上,从第 13 本开始按标价的 70%出售.设小明要购买 $ x(x ＞ 12) $ 本练习本.
(1)当小明到甲商店购买时,需付款多少元(用含 $ x $ 的代数式表示)？
(2)购买多少本练习本时,两家商店的收费相同？
(3)小明准备买 50 本练习本,为了节约开支,在哪家商店购买更划算？

答案：
(1)依题意,得小明到甲商店购买需付款2×80%x=1.6x(元).
(2)小明到乙商店购买需付款2×12+2×70%(x-12)=(1.4x+7.2)元.
由题意,得1.4x+7.2=1.6x,
解得x=36.
答:购买36本练习本时,两家商店的收费相同.
(3)当x=50时,1.6x=1.6×50=80,
1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2.
因为80＞77.2,
所以在乙商店购买更划算.