《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

12. 计算下列各题:
(1)$3^{m+2}\cdot 9^{2m-1}\cdot 27^{m+1}$(结果用底数为$3$的幂的形式表示);
(2)$(-xy)^{6}-(-3x^{2}y^{2})^{3}+8[-(-xy)^{3}]^{2}$.

答案： $(1)$
解：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，将$9^{2m - 1}$和$27^{m + 1}$进行变形：
$9^{2m - 1}=(3^2)^{2m - 1}=3^{2×(2m - 1)} = 3^{4m - 2}$
$27^{m + 1}=(3^3)^{m + 1}=3^{3×(m + 1)} = 3^{3m + 3}$
再根据同底数幂相乘公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，对$3^{m + 2}\cdot 9^{2m - 1}\cdot 27^{m + 1}$进行计算：
$\begin{aligned}&3^{m + 2}\cdot 3^{4m - 2}\cdot 3^{3m + 3}\\=&3^{(m + 2)+(4m - 2)+(3m + 3)}\\=&3^{m + 2 + 4m - 2 + 3m + 3}\\=&3^{8m + 3}\end{aligned}$
$(2)$
解：
根据积的乘方公式$(ab)^n=a^n b^n$和幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，分别对各项进行化简：
$(-xy)^6 = x^6y^6$
$(-3x^2y^2)^3=(-3)^3\cdot(x^2)^3\cdot(y^2)^3=-27x^6y^6$
$8[-(-xy)^3]^2 = 8\cdot(-1)^2\cdot(x^3y^3)^2=8x^6y^6$
然后将化简后的式子代入原式：
$\begin{aligned}&(-xy)^6-(-3x^2y^2)^3 + 8[-(-xy)^3]^2\\=&x^6y^6-(-27x^6y^6)+8x^6y^6\\=&x^6y^6 + 27x^6y^6+8x^6y^6\\=&(1 + 27 + 8)x^6y^6\\=&36x^6y^6\end{aligned}$
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{3^{8m + 3}}$；$(2)$$\boldsymbol{36x^6y^6}$。

1. 若$5^{x}= 125^{y},3^{y}= 27^{z}$,则$x:y:z$的结果等于(D).
A.$5:3:1$
B.$6:2:1$
C.$7:5:3$
D.$9:3:1$

答案： D

2. 已知$3^{2a}= 2^{b},6^{b}= 81$,则$2a+b= (A)$.
A.4
B.6
C.8
D.$-8$

答案： A

3. 已知$2^{x+2}\cdot 3^{x+2}= 36^{x-3}$,则$x= $8.

答案： 8

4. 我们定义 $=a^{b}\cdot a^{c}$,五角星 $=z\cdot (x^{m}\cdot y^{n})$;若 $=4$,则 $=$32.

答案： 32

5. 按要求完成下列各题:
(1)计算:$[(-3b-2a)^{2}]^{n}\cdot (2a+3b)^{n}+[-(2a+3b)^{n}]^{3}$;
(2)若$n$为正整数,请你说明:$3^{n}\cdot 6^{n+1}+3^{2n+2}\cdot 2^{n}能被5$整除.

答案： 解:
(1)原式=(2a+3b)²ⁿ⁺ⁿ-(2a+3b)³ⁿ=0.
(2)原式=3ⁿ×6ⁿ×6+3²ⁿ×3²×2ⁿ=18ⁿ×6+9ⁿ×9×2ⁿ=18ⁿ×6+18ⁿ×9=18ⁿ×15,所以3ⁿ·6ⁿ⁺¹+3²ⁿ⁺²·2ⁿ能被5整除.