《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

5. (1)问题情境：如图①,在$Rt△ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$AD⊥BC于点D$,可知$∠BAD = ∠C$(不需要证明).
(2)特例探究：如图②,$∠MAN = 90^{\circ}$,射线$AE$在这个角的内部,点$B$,$C在∠MAN的边AM$,$AN$上,且$AB = AC$,$CF⊥AE于点F$,$BD⊥AE于点D$.求证$△ABD≌△CAF$.
(3)归纳证明：如图③,点$B$,$C在∠MAN的边AM$,$AN$上,点$E$,$F在∠MAN内部的射线AD$上,$∠1$,$∠2分别是△ABE和△CAF$的外角.已知$AB = AC$,$∠1 = ∠2 = ∠BAC$,求证$△ABE≌△CAF$.
(4)拓展应用：如图④,在$△ABC$中,$AB = AC$,$AB＞BC$,点$D在边BC$上,$CD = 2BD$,点$E$,$F在线段AD$上,$∠1 = ∠2 = ∠BAC$.若$△ABC的面积为15$,则$△ACF与△BDE$的面积之和是多少?

答案：
(2)证明:
∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF.
　在△ABD和△CAF中,{∠BDA=∠AFC,∠ABD=∠CAF,AB=CA},
∴△ABD≌△CAF(AAS).
(3)证明:
∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠ACF+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF.
　在△ABE和△CAF中,{∠ABE=∠CAF,AB=CA,∠BAE=∠ACF},
∴△ABE≌△CAF(ASA).
(4)解:
∵△ABC的面积为15,CD=2BD,
∴△ABD的面积为$\frac{1}{3}$×15=5.
　由
(3)知△ABE≌△CAF,
∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=5.