《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

12. 如图,在$△ABC$中,$AE = AF$,$BD = CD$,$DE⊥AB于点E$,$DF⊥AC于点F$.求证$BE = CF$.

答案： 证明:在Rt△ADE和Rt△ADF中,{AD=AD,AE=AF},
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),
∴DE=DF.
　在Rt△BDE和Rt△CDF中,{DE=DF,BD=CD},
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴BE=CF.

1. 如图,$AB⊥AC于点A$,$BD⊥CD于点D$.若$AC = DB$,则下列结论不正确的是(C).

A.$∠A = ∠D$
B.$∠ABC = ∠DCB$
C.$OB = OD$
D.$OA = OD$

答案： C

2. (2023,济宁,9)如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点$A$,$B$,$C$,$D$,$E$均在小正方形方格的顶点上,线段$AB$,$CD交于点F$.若$∠CFB = \alpha$,则$∠ABE$等于(C).

A.$180^{\circ}-\alpha$
B.$180^{\circ}-2\alpha$
C.$90^{\circ}+\alpha$
D.$90^{\circ}+2\alpha$

答案： C　[提示]如图,由GD=EH=1,CG=BH=4,
∠CGD=∠BHE=90°,得△CGD≌△BHE(SAS),则∠GCD=∠HBE;
∵CG//BD,
∴∠CAB=
　∠ABD.
∵∠CFB=∠CAB+∠GCD=α,
∴α=
　∠ABD+∠HBE,
∴∠ABE=∠ABD+∠DBH+∠HBE=90°+α,

3. 如图,在$△ABC$中,高$AD$,$BE相交于点F$,$AD = BD$,那么$△ADC≌$△BDF,$AC = $BF.

答案： △BDF;BF

4. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$AC = 8$,$BC = 3$,$P$,$Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX$上运动,且$PQ = AB$.要使$△ABC和△PQA$全等,则$AP = $8或3.

答案： 8或3