《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

5. (2022, 青海,26)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,那么形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形。

(1)问题发现：如图①,若 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 是顶角相等的等腰三角形,$BC$,$DE$ 分别是底边,连接 $BD$,$CE$,求证 $BD = CE$；
(2)解决问题：如图②,若 $\triangle ACB$ 和 $\triangle DCE$ 均为等腰直角三角形,$\angle ACB= \angle DCE = 90^{\circ}$,点 $A$,$D$,$E$ 在同一条直线上,$CM$ 为 $\triangle DCE$ 中 $DE$ 边上的高,连接 $BE$,请判断 $\angle AEB$ 的度数及线段 $CM$,$AE$,$BE$ 之间的数量关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:
∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC - ∠CAD=∠DAE - ∠CAD,即∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下:由
(1)同理可证得△ACD≌△BCE,
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△CDE是等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∴∠ADC=180° - ∠CDE=135°,
∴∠BEC=∠ADC=135°,
∴∠AEB=∠BEC - ∠CED=90°.
∵CM⊥DE,
∴∠CME=90°,
∴∠DCM=∠ECM=45°,
∴DM=ME=CM,
∴DE=2CM,
∴AE=AD+DE=BE+2CM.