《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

9. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,点 $ E $ 在 $ AC $ 上,且 $ AE = AD $,则 $ \angle DEC $ 的度数为______.
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105°

答案： 105°

10. 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,点 $ E $ 在边 $ AC $ 上,将 $ \triangle ADE $ 折叠,使点 $ A $ 落在 $ BC $ 边上的点 $ F $ 处,则 $ \angle BDF + \angle CEF $ 的大小等于 ______.

120°

答案： 120°【提示】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠ADE+∠AED=120°.
∵将△ADE折叠，点A落在BC边上的点F处，
∴∠ADE=∠EDF，∠AED=∠DEF，
∴∠ADF+∠AEF=2(∠ADE+∠AED)=240°，
∴∠BDF+∠CEF=360°-(∠ADF+∠AEF)=360°-240°=120°.

11. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ D,E $ 在直线 $ BC $ 上,且 $ DB = EC $. 求证 $ \angle D = \angle E $.
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答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
即∠ABD=∠ACE.
在△ADB和△AEC中，
AB=AC，
∠ABD=∠ACE，
DB=EC，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴∠D=∠E.

12. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ AD $ 是中线,$ \triangle ADE $ 也是等边三角形. 求证 $ BD = BE $.
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答案： 证明：
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD也是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=1/2∠BAC=1/2×60°=30°.
∵△ADE也是等边三角形，
∴∠EAD=60°，AE=AD，
∴∠EAB=∠EAD-∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠EAB=∠BAD.
在△ABE和△ABD中，
AE=AD，
∠EAB=∠BAD，
AB=AB，
∴△ABE≌△ABD(SAS)，
∴BE=BD.