《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

将军怎样走才能使总路程最短
活动
日常生活中经常会遇到最短路径问题,从数学的角度看,这类问题抽象为几何问题后,常常是求线段和的最小值问题。在前面的学习中,我们知道,“两点之间,线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等,下面我们从古诗词中设计出数学问题进行探究。
任务
唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图,在平面直角坐标系中,将军从 $ A(4,0) $ 出发,先到山脉 $ m $ 的任意位置望烽火,再到河岸 $ n $ 的任意位置饮马后返回到 $ A $ 点,且直线 $ m $ 与直线 $ n $ 的夹角为 $ 30^{\circ} $,请你设计出将军的行走路线,并计算将军所走的最短总路程。

附：任务报告参考
任务：将军怎样走才能使总路程最短
年级班组 报告时间：
| 1. 小组成员与分工 |1. 小组成员与分工：
假设小组成员为甲、乙、丙。甲负责查阅相关数学原理（如轴对称性质等），乙负责绘制图形和计算，丙负责整理思路和撰写报告。|
| 2. 任务的意义 |2. 任务的意义：
加深对最短路径问题（如利用轴对称求线段和最小值）的理解，提高将实际问题（古诗词中的问题）转化为数学问题并解决的能力，培养数学建模和逻辑思维能力。|
| 3. 任务方案 |3. 任务方案：
利用轴对称的性质，分别作点$A$关于直线$m$和直线$n$的对称点$A_1$、$A_2$，连接$A_1A_2$，与直线$m$、$n$分别交于点$B$、$C$，则$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$的路线就是最短路线。|
| 4. 实施过程 |4. 实施过程：
设点$A(4,0)$，作点$A$关于直线$m$的对称点$A_1$，根据对称点的性质，若直线$m$的斜率为$k_m$（设直线$m$过原点，$k_m = \tan\alpha$，$\alpha$为直线$m$与$x$轴正半轴夹角），点$A(x_0,y_0)$关于直线$y = kx + b$的对称点$A_1(x_1,y_1)$的公式：$\left\{\begin{array}{l}\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}× k=-1\frac{y_1 + y_0}{2}=k×\frac{x_1 + x_0}{2}+b\end{array}\right.$（这里直线$m$过原点，$b = 0$）。同理作点$A$关于直线$n$的对称点$A_2$。
因为$\angle AOA_1+\angle AOA_2 = 2(\angle AOB+\angle AOC)=2×30^{\circ}=60^{\circ}$，$OA = OA_1=OA_2 = 4$。
根据余弦定理$A_1A_2^{2}=OA_1^{2}+OA_2^{2}-2OA_1× OA_2×\cos\angle A_1OA_2$。
已知$OA_1 = OA_2 = 4$，$\angle A_1OA_2 = 60^{\circ}$，代入余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$（这里$a = A_1A_2$，$b = OA_1$，$c = OA_2$，$A=\angle A_1OA_2$）得：
$A_1A_2^{2}=4^{2}+4^{2}-2×4×4×\cos60^{\circ}$。
先计算$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则$A_1A_2^{2}=16 + 16-2×4×4×\frac{1}{2}$。
$A_1A_2^{2}=32 - 16=16$，所以$A_1A_2 = 4$。
根据轴对称性质，$AB = A_1B$，$AC = A_2C$，所以$AB + BC+CA=A_1B + BC + A_2C=A_1A_2$。|
| 5. 任务成果 | 平面图 |5. 任务成果：
平面图：（略，按照上述对称点画法绘制）
将军所走的最短总路程为$4$。|
| 6. 收获与体会 |6. 收获与体会：
学会了利用轴对称将线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短问题，提高了对数学知识的综合运用能力，感受到了数学在实际生活（古诗词情境）中的应用魅力。|
| 7. 对此任务报告的评价(由评价小组或教师填写) |7. 对此任务报告的评价（由评价小组或教师填写）：（略）|

答案： 1. 小组成员与分工：
假设小组成员为甲、乙、丙。甲负责查阅相关数学原理（如轴对称性质等），乙负责绘制图形和计算，丙负责整理思路和撰写报告。
2. 任务的意义：
加深对最短路径问题（如利用轴对称求线段和最小值）的理解，提高将实际问题（古诗词中的问题）转化为数学问题并解决的能力，培养数学建模和逻辑思维能力。
3. 任务方案：
利用轴对称的性质，分别作点$A$关于直线$m$和直线$n$的对称点$A_1$、$A_2$，连接$A_1A_2$，与直线$m$、$n$分别交于点$B$、$C$，则$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$的路线就是最短路线。
4. 实施过程：
设点$A(4,0)$，作点$A$关于直线$m$的对称点$A_1$，根据对称点的性质，若直线$m$的斜率为$k_m$（设直线$m$过原点，$k_m = \tan\alpha$，$\alpha$为直线$m$与$x$轴正半轴夹角），点$A(x_0,y_0)$关于直线$y = kx + b$的对称点$A_1(x_1,y_1)$的公式：$\left\{\begin{array}{l}\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}× k=-1\\frac{y_1 + y_0}{2}=k×\frac{x_1 + x_0}{2}+b\end{array}\right.$（这里直线$m$过原点，$b = 0$）。同理作点$A$关于直线$n$的对称点$A_2$。
因为$\angle AOA_1+\angle AOA_2 = 2(\angle AOB+\angle AOC)=2×30^{\circ}=60^{\circ}$，$OA = OA_1=OA_2 = 4$。
根据余弦定理$A_1A_2^{2}=OA_1^{2}+OA_2^{2}-2OA_1× OA_2×\cos\angle A_1OA_2$。
已知$OA_1 = OA_2 = 4$，$\angle A_1OA_2 = 60^{\circ}$，代入余弦定理$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$（这里$a = A_1A_2$，$b = OA_1$，$c = OA_2$，$A=\angle A_1OA_2$）得：
$A_1A_2^{2}=4^{2}+4^{2}-2×4×4×\cos60^{\circ}$。
先计算$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，则$A_1A_2^{2}=16 + 16-2×4×4×\frac{1}{2}$。
$A_1A_2^{2}=32 - 16=16$，所以$A_1A_2 = 4$。
根据轴对称性质，$AB = A_1B$，$AC = A_2C$，所以$AB + BC+CA=A_1B + BC + A_2C=A_1A_2$。
5. 任务成果：
平面图：（略，按照上述对称点画法绘制）
将军所走的最短总路程为$4$。
6. 收获与体会：
学会了利用轴对称将线段和的最小值问题转化为两点之间线段最短问题，提高了对数学知识的综合运用能力，感受到了数学在实际生活（古诗词情境）中的应用魅力。
7. 对此任务报告的评价（由评价小组或教师填写）：（略）
综上，将军的行走路线为$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A$（$B$为$A_1A_2$与$m$的交点，$C$为$A_1A_2$与$n$的交点），最短总路程为$4$。