《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

8. 如图,已知在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,且$CD:BD = 3:4$。若$BC = 21$,则点$D到边AB$的距离为9。

答案： 9

9. (2024,齐齐哈尔,12)如图,在平面直角坐标系中,以点$O$为圆心,适当长为半径作弧,交$x轴正半轴于点M$,交$y轴正半轴于点N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在第一象限交于点$H$,画射线$OH$,若$H(2a - 1,a + 1)$,则$a= $2。

答案： 2

10. 如图,在平面直角坐标系中,$D是x$轴负半轴上一点,$B$是第二象限内一点,$OA平分\angle BOD$,$AC\perp OB于点C$,且$AC = 3$。已知点$A到y轴的距离是5$,那么点$A$的坐标为(-5,3)。

答案： (-5,3)

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CE\perp AB于点E$,$AD = AC$,$AF平分\angle CAB交CE于点F$,$DF的延长线交AC于点G$。求证$FG = FE$。

答案： 证明:
∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中,{AC=AD,∠CAF=∠DAF,AF=AF}
∴△ACF≌△ADF(SAS),
∴∠ACF=∠ADF.
∵CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠ADF+∠CAE=90°,
∴∠AGD=180°-∠ADF-∠CAE=90°,
∴FG⊥AC.
∵AF平分∠CAB,FE⊥AB,
∴FG=FE.