《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AB = 10$,$AC = 8$,$CB = 6$,$I$是三条角平分线的交点,$ID\perp BC于点D$,则$ID$的长为2。

答案： 2

5. (1)如图①,$OP是\angle MON$的平分线,请你在该图形上进行如下操作：在射线$OP上任意取一点S$,分别在射线$OM$,$ON上取点Q$,$R$,使$OQ = OR$,可知$\triangle OSQ\cong\triangle OSR$,其理由是SAS。
(2)如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB$是直角,$\angle B = 60^{\circ}$,$AD$,$CE分别是\angle BAC$,$\angle BCA$的平分线,$AD$,$CE相交于点F$。请你判断并写出$FE与FD$之间的数量关系。(不需要证明)
(3)如图③,在$\triangle ABC$中,如果$\angle ACB$不是直角,而(2)中的其他条件不变,你在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由。

答案：
解:
(1)SAS
(2)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.
(3)结论FE=FD仍然成立.
证明:如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.
∵∠1=∠2,AF为公共边,AG=AE,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG.
∵∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∴∠2+∠3=60°,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°,
∴∠CFG=60°,即∠CFG=∠CFD.
又∠3=∠4,FC=FC,
∴△CFG≌△CFD(ASA),
∴FG=FD,
∴FE=FD.