《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 78^{\circ}$,$BD是\triangle ABC$的角平分线,$\angle DBC = 32^{\circ}$.
(1)求$\angle C$的度数；
(2)求$\angle ADB$的度数.

答案： 解:
(1)
∵BD是△ABC的角平分线,∠DBC=32°,
∴∠ABC=2∠DBC=2×32°=64°.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴∠C=180°-78°-64°=38°.
(2)
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABD=∠DBC=32°.
在△ABD中,∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∴∠ADB=180°-78°-32°=70°.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的高,$AE平分\angle BAC$,交$BC于点E$.
(1)若$\angle B = 72^{\circ}$,$\angle C = 30^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)若$\angle B = \angle C + 40^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(3)若$\angle B - \angle C = n$,用含有$n的代数式表示\angle DAE$.(直接写出结果)
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答案： 解:
(1)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-72°-30°=78°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×78°=39°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-72°=18°.
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=39°-18°=21°.
(2)
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C).
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠B=90°-∠B.
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)-(90°-∠B)=$\frac{1}{2}$(∠B-∠C).
∵∠B=∠C+40°,
∴∠B-∠C=40°,
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×40°=20°.
(3)∠DAE=$\frac{1}{2}$n.