《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

1. 已知$a - b = 3$,$a + c = 5$,$b - c = 7$,则$a^{2} - b^{2}$的值等于(B).
A.15
B.36
C.56
D.105

答案： B

2. 如图,四边形$ABCD$是长方形,四边形$ABMN$是面积为 15 的正方形,点$M$,$N分别在BC$,$AD$上,点$E$,$F在MN$上,点$G$,$H在CD$上,且四边形$EFGH$是正方形,连接$AE$,$DE$,$BF$,$CF$,若图中阴影部分的总面积为 6,则正方形$EFGH$的面积为(D).


A.6
B.5
C.4
D.3

答案： 1. 首先，设正方形$ABMN$的边长为$a$，正方形$EFGH$的边长为$b$：
因为正方形$ABMN$的面积$S = a^{2}=15$。
由长方形$ABCD$中，$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×DE×AN$，$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}×CF×BM$，且$AN = BM=a$，$DE = CF = b$。
根据阴影部分面积公式：$S_{阴影}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle BCF}$。
2. 然后，根据三角形面积公式计算阴影部分面积：
已知$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}ab$，$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}ab$，则$S_{阴影}=\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab = ab$。
因为$S_{阴影}=6$，所以$ab = 6$。
3. 最后，求正方形$EFGH$的面积：
正方形$EFGH$的面积$S = b^{2}$，根据$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里我们可以通过$S_{正方形EFGH}=S_{正方形ABMN}-2S_{阴影}$来计算（从图形的面积关系看，大正方形$ABMN$的面积减去两个阴影三角形的面积就是小正方形$EFGH$的面积，因为$S_{正方形ABMN}=a^{2}$，$S_{阴影}=ab$）。
把$a^{2}=15$，$ab = 6$代入$S = a^{2}-2ab$。
则$S=15 - 2×6$。
计算$15−12 = 3$。
所以正方形$EFGH$的面积为$3$，答案是D。

3. 已知$4a^{2} - 9b^{2} = 12$,$-2a + 3b = 3$,则$a$,$b$的值分别等于-$\frac{7}{4}$,-$\frac{1}{6}$.

答案： -$\frac{7}{4}$,-$\frac{1}{6}$

4. 若$a + b的值是-2$,则$(a + b + 1)(1 - a - b)$的值为-3.

答案： -3

5. 利用平方差公式计算：$\frac{2}{3} × (1 + \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{3^{2}})(1 + \frac{1}{3^{4}})(1 + \frac{1}{3^{8}}) + \frac{1}{3^{16}}$.

答案： 解:原式=(1-$\frac{1}{3}$)(1+$\frac{1}{3}$)(1+$\frac{1}{3^2}$)(1+$\frac{1}{3^4}$)(1+$\frac{1}{3^8}$)+$\frac{1}{3^{16}}$=(1-$\frac{1}{3^2}$)(1+$\frac{1}{3^2}$)(1+$\frac{1}{3^4}$)(1+$\frac{1}{3^8}$)+$\frac{1}{3^{16}}$=(1-$\frac{1}{3^4}$)(1+$\frac{1}{3^4}$)(1+$\frac{1}{3^8}$)+$\frac{1}{3^{16}}$=(1-$\frac{1}{3^8}$)(1+$\frac{1}{3^8}$)+$\frac{1}{3^{16}}$=1-$\frac{1}{3^{16}}$+$\frac{1}{3^{16}}$=1.