《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

12. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$CD \perp AB于点D$,$BE \perp AC于点E$,$BE与CD相交于点F$.试写出图中所有全等的三角形,并选其中一对加以证明.
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答案： 解:△ABE≌△ACD,△BCD≌△CBE和△BFD≌△CFE.以△ABE≌△ACD为例证明:
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC=∠AEB=90°.在△ABE和△ACD中,∠A=∠A,∠AEB=∠ADC,AB=AC,
∴△ABE≌△ACD(AAS).

1. (2024,广州,7)如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AB = AC = 6$,$D为边BC$的中点,点$E$,$F分别在边AB$,$AC$上,$AE = CF$,则四边形$AEDF$的面积为(C).

A.$18$
B.$9\sqrt{2}$
C.$9$
D.$6\sqrt{2}$
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答案： C

2. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于(B).
A.顶角
B.顶角的一半
C.顶角的$2$倍
D.底角的一半

答案： B

3. (2022,苏州,12)定义：一个三角形的一边长是另一边长的$2$倍,这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形$ABC$是“倍长三角形”,底边$BC的长为3$,则腰$AB$的长为6.

答案： 6

4. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$上,$AB = AD = DC$,$\angle C = 35^{\circ}$,则$\angle BAD = $40°.
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答案： 40°

5. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 50^{\circ}$.若$D为AB$的中点,过点$D作AB$的垂线,与$\angle BAC的平分线交于点O$,点$C沿EF折叠后与点O$重合,求$\angle CEF$的度数.
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答案： 解:如图，连接BO,CO.
∵AB=AC,AO是∠BAC的平分线,
∴AO是BC的垂直平分线,
∴BO=CO.
∵AO是∠BAC的平分线，且∠BAC=50°,
∴∠OAB=∠OAC=25°.
∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,
∴∠ABC=∠ACB=65°.
∵D为AB的中点，OD⊥AB,
∴OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB=25°,
∴∠OBC=65°−25°=40°,
∴∠OCB=∠OBC=40°.
∵点C沿EF折叠后与点O重合,
∴EO=EC,
∴∠EOC=∠OCB=40°,
∴∠CEF=∠OEF=(180°−2×40°)÷2=50°.