《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

1. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle C = 30^{\circ} $,$ AB \perp AD $,且 $ AD $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ AD = 4 cm $,则 $ BC $ 的长为(C).

A.$ 8 cm $
B.$ 10 cm $
C.$ 12 cm $
D.$ 14 cm $
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答案： C

2. 下列命题中,正确的个数是(C).
①等腰三角形的一边长为 $ 4 cm $,另一边长为 $ 9 cm $,则它的周长为 $ 17 cm $ 或 $ 22 cm $；
②三边分别相等的两个三角形全等；
③等边三角形是轴对称图形,并且有三条对称轴；
④如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： C

3. 如图,$ \triangle ABC $ 是边长为 $ 8 $ 的等边三角形,$ D $ 是 $ BC $ 上一点,$ BD = 3 $,$ DE \perp BC $,且 $ DE $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,则 $ AE = $2.
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答案： 2

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $,$ E $ 是 $ \triangle ABC $ 内的两点,$ AE $ 平分 $ \angle BAC $,$ \angle D = \angle DBC = 60^{\circ} $,若 $ BD = 5 cm $,$ DE = 3 cm $,则 $ BC $ 的长是8$ cm $.

答案： 1. 首先，延长$DE$交$BC$于$M$，延长$AE$交$BC$于$N$：
因为$\angle D = \angle DBC=60^{\circ}$，在$\triangle BDM$中，根据三角形内角和定理$\angle D+\angle DBC+\angle BMD = 180^{\circ}$，所以$\angle BMD = 180^{\circ}-\angle D - \angle DBC=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$。
则$\triangle BDM$是等边三角形。
2. 然后，根据等边三角形的性质：
因为$\triangle BDM$是等边三角形，所以$BD = DM = BM = 5cm$。
已知$DE = 3cm$，则$EM=DM - DE=5 - 3=2cm$。
3. 接着，因为$AB = AC$，$AE$平分$\angle BAC$：
根据等腰三角形“三线合一”的性质，$AN\perp BC$，即$\angle ENM = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BMD = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle ENM$中，$\angle NEM = 30^{\circ}$。
根据在直角三角形中，$30^{\circ}$角所对的直角边等于斜边的一半，可得$BM = 2EM$（这里$BM$是斜边，$EM$是$30^{\circ}$角$\angle NEM$所对的直角边）。
因为$\triangle BDM$是等边三角形，$AE$平分$\angle BAC$，$AB = AC$，所以$BN=\frac{1}{2}BC$。
而$BN = BM - NM$，在$Rt\triangle ENM$中，$EM = 2cm$，$\angle NEM = 30^{\circ}$，则$NM=\frac{1}{2}EM = 1cm$（$30^{\circ}$角所对直角边是斜边的一半）。
$BN=BM - NM$，$BM = 5cm$，$NM = 1cm$，所以$BN = 4cm$。
4. 最后，求$BC$的长度：
因为$BN=\frac{1}{2}BC$，所以$BC = 2BN$。
把$BN = 4cm$代入，得$BC = 8cm$。
故答案为$8$。

5. 如图,上午 $ 8 $ 时,一条船从海岛 $ A $ 出发,以 $ 15 $ 海里/时的速度向正北方向航行,上午 $ 10 $ 时到达海岛 $ B $ 处,从 $ A $,$ B $ 望灯塔 $ C $,测得 $ \angle NAC = 30^{\circ} $,$ \angle NBC = 60^{\circ} $.
(1)求海岛 $ B $ 与灯塔 $ C $ 之间的距离.
(2)这条船继续向正北方向航行,在什么时间船与灯塔 $ C $ 之间的距离最短?
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答案： 解:
(1)
∵∠NBC=60°,∠NAC=30°,
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=60°-30°=30°,
∴AB=BC.
∵AB=15×2=30(海里),
∴BC=30海里,即海岛B与灯塔C之间的距离为30海里.
(2)过点C作CP⊥AB的延长线于点P(图略),则线段CP的长为船与灯塔C之间的最短距离.
∵∠NBC=60°,∠BPC=90°,
∴∠BCP=90°-60°=30°,
∴PB= $\frac{1}{2}$BC=15(海里).
∵15÷15=1(小时),10+1=11(时),
∴这条船继续向正北方向航行,在上午11时船与灯塔C之间的距离最短.