《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

12. 如图,$AB// CD$,以点$A$为圆心,小于$AC$的长为半径作圆弧,分别交$AB$,$AC于E$,$F$两点,再分别以点$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作圆弧,两条圆弧交于点$P$,作射线$AP交CD于点M$。
(1)若$\angle ACD = 114^{\circ}$,求$\angle MAB$的度数；
(2)若$CN\perp AM$,垂足为$N$,求证$\triangle ACN\cong\triangle MCN$。

答案：
(1)解:
∵AB//CD,
∴∠ACD+∠CAB=180°.
又∠ACD=114°,
∴∠CAB=180°-114°=66°.
由作法知AM是∠CAB的平分线,
∴∠MAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×66°=33°.
(2)证明:由作法知AM平分∠CAB,
∴∠CAM=∠MAB.
∵AB//CD,
∴∠MAB=∠CMA,
∴∠CAM=∠CMA.
∵CN⊥AM,
∴∠CNA=∠CNM=90°.
又CN=CN,
∴△ACN≌△MCN(AAS).

1. 如图,在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle B = 40^{\circ}$,以点$A$为圆心,适当长为半径作弧,交$AB于点E$,交$AC于点F$；再分别以点$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧(所在圆的半径相等)在$\angle BAC的内部相交于点P$；作射线$AP$,与$BC相交于点D$,则$\angle ADC$的大小为(B)。

A.$60^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$75^{\circ}$

答案： B

2. 如图,已知在四边形$ABCD$中,$\angle BCD = 90^{\circ}$,$BD平分\angle ABC$,$AB = 6$,$BC = 9$,$CD = 4$,则四边形$ABCD$的面积是(B)。

A.$24$
B.$30$
C.$36$
D.$42$

答案： B 【提示】如图，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.
∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,
∴DH=CD=4,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=$\frac{1}{2}$AB·DH+$\frac{1}{2}$BC·CD=$\frac{1}{2}$×6×4+$\frac{1}{2}$×9×4=30.