《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD \perp BC $,$ CE \perp AB $,垂足分别为 $ D $,$ E $,$ AD $,$ CE $ 交于点 $ H $. 已知 $ EH = EB = 5 $,$ CH = 2 $,则 $ AE $ 的长为7.

答案： 7

4. 如图,在 $ \triangle ACD $ 中,$ \angle CAD = 90^{\circ} $,$ AC = 4 $,$ AD = 6 $,$ AB // CD $,$ E $ 是 $ CD $ 上一点,$ BE $ 交 $ AD $ 于点 $ F $. 若 $ AB = DE $,则图中阴影部分的面积为______.

12

答案： 12【提示】
∵AB//CD，
∴∠B=∠FED，∠FAB=∠D.又AB=DE，可证△ABF≌△DEF(ASA)，
∴S△ABF=S△DEF.
∵∠CAD=90°，AC=4，AD=6，
∴S阴影=S四边形ACEF+S△ABF=S四边形ACEF+S△DEF=S△ACD=1/2×4×6=12.

5. 两块大小相同的含 $ 30^{\circ} $ 角的直角三角尺,按图①所示位置摆放,由此抽象出的几何图形如图②所示,两条相等的直角边 $ AC $,$ C_1A_1 $ 在同一条直线上.
(1)图中有多少对全等三角形？将它们写出来.
(2)选出其中一对全等三角形进行证明($ \triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1 $ 除外).

答案： 解：
(1)图中共有3对全等三角形，分别是△ABC≌△A1B1C1，△B1EO≌△BFO，△AC1E≌△A1CF.
(2)以△AC1E≌△A1CF为例：
∵AC=A1C1，
∴AC-C1C=A1C1-C1C，
∴AC1=A1C.
∵∠A=∠A1=30°，∠AC1E=∠A1CF=90°，
∴△AC1E≌△A1CF(ASA).