《2025年学习质量监测八年级数学上册人教版》

5. 如图,$AB // CD$,$E是CD$上一点,连接$AE$.
(1)如图①,若$AE平分\angle BAC$,$EF \perp AE交AB于点F$,$\angle C = 66^{\circ}$,求$\angle AFE$的度数；
(2)如图②,若$AG平分\angle BAE$,$CG平分\angle ACD$,$\angle AGC = 72^{\circ}$,求$\angle CAE$的度数.

答案： 解:
(1)
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°.
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=180°.
∴∠EAF+∠AFE=90°.
∴2∠EAF+2∠AFE=180°.
∵AE平分∠CAF,
∴∠CAF=2∠EAF.
∴∠CAF+2∠AFE=180°.
∵AB//CD,
∴∠CAF+∠C=180°.
∴∠C=2∠AFE.
∵∠C=66°,
∴∠AFE=$\frac{1}{2}$×∠C=$\frac{1}{2}$×66°=33°.
(2)如图,过点G作GH//AB,交AC于点H.
∵AB//CD,
∴GH//AB//CD.
∴∠BAG=∠AGH,
∠GCD=∠HGC.
∴∠BAG +∠GCD=∠AGH+∠HGC.
即∠AGC=∠BAG +∠GCD.
∵AG平分∠BAE,CG平分∠ACD,
∴∠BAE=2∠BAG,∠ACD=2∠GCD.
∴∠BAE+∠ACD=2(∠BAG+∠GCD)=2∠AGC.
∵∠AGC=72°,
∴∠BAE+∠ACD=2×∠AGC=2×72°=144°.
∵AB//CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
即∠BAE+∠CAE+∠ACD=180°.
∴∠CAE=180°-144°=36°.